Un experiment de ciència per als nens

dijous, 6/12/2012

RellotgeSolEquatorial.jpg S’acosten festes. Tots tenim fills, néts, nebots o amics que tenen fills. Amb dos talls de cartró i amb menys temps del que costa fer el sopar, si voleu podreu  construir un rellotge de sol equatorial amb què podreu experimentar i ajudar els nens a entendre el moviment aparent del sol i les estacions de l’any. Us animeu?

Els ingredients són un tros de cartró, un regle, una esquadra i un semicercle graduat.

Comencem tallant dues peces de cartró com les que veieu planes damunt la taula, a la imatge: un triangle i un rectangle. Tallem un triangle rectangle amb una base AC de 20 centímetres i l’angle recte al punt C. La base del rectangle serà de 28 centímetres. Us podeu ajudar amb l’esquadra per aconseguir que els angles quedin ben rectes. Però, quan mesurem les alçades abans de tallar el cartró, hem de tenir en compte que depenen de la latitud del lloc on som. L’alçada L del triangle (distància entre B i C) es pot veure que és de 18.4 cm. a Vielha, 18.2 cm. a Cadaqués, 17.4 cm. a Barcelona o 17.2 centímetres a Amposta. A qualsevol altre lloc podem deduir un valor aproximat per interpolació, o bé calcular el valor exacte a partir de les fórmules corresponents (vegeu nota al final). Haurem de fer el mateix per saber l’alçada del rectangle, que ha de ser de 13.6 cm. a Vielha, 13.5 a Cadaqués, 13.1 a Barcelona o 13 centímetres a Amposta.

Passem ara a fer els talls perquè les peces encaixin. Marquem primer les línies on farem els dos talls. Al triangle (ho podem fer amb l’ajut de l’esquadra) marquem la recta perpendicular a l’aresta AB que passa pel punt C. Al rectangle, marquem la vertical pel punt mig de la base, Q. Fem un tall fins la meitat de cada una d’aquestes dues línies per poder encaixar després les dues peces tal com es veu al rellotge ja construït a la part superior de la imatge. Finalment, situem el semicercle graduat sobre la base del rectangle i amb el seu centre al punt Q, i marquem línies cada 15 graus, a més de la línia dels 90 graus que ja teníem. Aquest marcat de línies cada 15 graus s’ha de repetir també a la cara de sota del rectangle, amb el semicercle novament centrat al punt Q.

Encaixem ara les dues peces fent que quedin perpendiculars, i ja tenim el rellotge acabat. Els experiments els farem amb el rellotge damunt d’una taula horitzontal. Els costats que quedaran damunt la taula (com podeu veure a la foto) són la base AC del triangle i la base del rectangle que és oposada al punt Q. Només cal orientar-lo adequadament. Ho podem aconseguir amb una brúixola, fent que el triangle quedi orientat en direcció nord-sud amb els punts B i C mirant al nord i el punt A dirigit al sud. Però, si no tenim brúixola, també el podem orientar tot “posant-lo en hora” amb l’hora solar (vegeu el darrer paràgraf de la nota al final). L’hora solar és aproximadament una hora menys que l’hora oficial en horari d’hivern i dues hores menys a l’estiu. Encara que si ho fem així acabem cometent alguns errors (vegeu nota al final), aquests no afecten pas els resultats dels experiments que podrem fer.

El primer que podrem veure és que el moviment aparent del sol al cel és sempre, estiu i hivern, un moviment regular i uniforme al voltant de l’aresta inclinada del triangle (l’aresta AB). Això passa perquè l’aresta AB és paral·lela a l’eix de rotació de la terra. La terra és la que realment gira. De fet és fàcil veure que, a més, el pla del rectangle ens ha quedat paral·lel a l’equador de la terra. Com que el sol cada dia gira 360 graus, el gir que fa cada hora és de 360/24=15 graus. Si tenim el rellotge ben orientat, al migdia – hora solar – el triangle no fa ombra. Però a mesura que passa el temps, l’ombra de l’aresta AB sobre el rectangle gira uniformement i cada hora que passa va coincidint amb cada una de les ratlletes que hem marcat amb separació de 15 graus. No cal dir que podem subdividir aquests intervals de 15 graus tant com vulguem (sobretot si hem acabat fent el rellotge a una escala més gran) per mesurar quarts d’hora o fraccions de temps més petites. Podeu repetir aquest experiment a l’estiu o a l’hivern i veureu que sempre passa el mateix. L’ombra gira amb precisió astronòmica, a raó de 15 graus cada hora (només amb petites correccions degudes a l’equació del temps, però que són imperceptibles dia a dia).

Si deixeu el rellotge a la intempèrie a una zona on es pugui veure bé el cel i sortiu a mirar-lo una nit estrellada, comprovareu que l’aresta AB apunta cap l’Estrella Polar. Quan mirem la Polar, estem mirant en la direcció de l’eix de rotació de la terra. Les estrelles no fan ombra, però el seu moviment aparent és també d’un gir de gairebé 15 graus cada hora al voltant de la nostra aresta AB. Per cert, sabíeu que el temps que cal perquè les estrelles tornin a passar, al cap d’un dia, per la mateixa posició del cel, és de 23 hores, 56 minuts i 4 segons? (per això abans he usat la paraula “gairebé”). Per què no és de 24 hores? Aquí teniu més informació sobre el dia sideral, el dia solar mitjà i el dia solar vertader.

I a més, el nostre rellotge ens indica les estacions de l’any. A la primavera i a l’estiu (exactament, entre l’equinocci de primavera i el de tardor) el sol és alt i il·lumina la cara superior de la nostra peça rectangular de cartró. A la resta de l’any (tardor i hivern) la cara superior queda a l’ombra i el sol il·lumina la cara de sota. Per això hem marcat els angles de 15 graus a les dues cares: el rectangle té una cara de primavera-estiu i una cara de tardor-hivern…

Acabo amb un experiment una mica més difícil. Ara necessitareu una canyeta de les de beure orxata i un filferro d’uns 40 centímetres. Doblegueu el filferro per la meitat. Us ha de quedar formant dos trams rectes d’uns 20 cm., amb un angle agut entre ells de 67 graus. Poseu ara la canyeta damunt l’aresta AB, i entreu-hi un dels dos trams rectes del filferro de manera que l’angle us quedi a l’extrem superior de la canyeta, prop del punt B. Gireu el filferro (la palleta us fa de coixinet) al voltant de l’aresta AB. Esteu simulant el moviment de la direcció en la que veiem el sol al llarg del dia, ara que al desembre som prop del solstici d’hivern. La direcció del sol cada dia descriu un con, una paperina imaginària, centrada a l’eix AB. Ja teniu un simulador del moviment aparent del sol. Podeu fer el mateix qualsevol altre dia de l’any, però haureu de tornar a doblegar el filferro i canviar l’angle. Als equinoccis, aquest angle ha de ser de 90 graus mentre que al solstici d’estiu l’haureu de doblegar formant un angle greu de 113.43 graus. La màxima diferència entre l’angle de dobleg i els 90 graus és igual a la inclinació de l’eix de la terra respecte l’eclíptica, 23.43 graus.

Nota: L’alçada L del triangle és D*tangent(Lat), on D és la mesura de la base AC (en el nostre cas, 20 cm.) i l’angle Lat és la latitud geogràfica del lloc on som. De la mateixa manera, l’alçada del rectangle és D*sinus(Lat). D’altra banda, és clar que podem fer el rellotge més gran, si volem que sigui més precís. Les dimensions que us he proposat fan que les dues peces de cartró siguin més petites que un full A4, i per tant les podem portar a qualsevol carpeta. Però evidentment podem fer D=30 cm., D=40 cm. o fer D tan gran com vulguem.

Pel que fa a l’hora solar, he dit que és aproximadament una hora menys a l’horari d’hivern i dues hores menys a l’horari d’estiu perquè no estic tenint en compte l’equació del temps i tampoc no estic considerant la longitud geogràfica del lloc on som. A Cadaqués i a Vielha, el sol no passa pas pel seu punt àlgid al cel a la mateixa hora. Als diferents llocs d’un mateix fus horari, l’hora civil és la mateixa però l’hora solar no: l’hora solar depèn de la longitud geogràfica del lloc. A l’estiu, a Vielha hi passa a les 13 hores i 58 minuts, mentre que a Cadaqués ho fa a les 13 hores i 47 minuts. El sol surt abans a Cadaqués i es pon més tard a Vielha…

El disseny dels ponts i les lleis de la física

dimecres, 28/11/2012

Golden_Gate_Bridge.jpg Alguns ponts, es fan mirar. El Golden Gate Bridge a San Francisco n’és un cas clar. Fixeu-vos en l’esveltesa del resultat. Compleix perfectament la seva missió sense cap necessitat de reforçar més les seves estructures. És prim i eficaç. El seu disseny és un exemple d’enginyeria sostenible que té en compte factors tan diversos com la càrrega dels vehicles que hi passen, el vent o els terratrèmols.

El dissenyador André Ricard diu que els bons dissenys afegeixen millores que semblen obvies, solucions de sentit comú. És la discreció del que és eficaç. Els bons dissenys han de ser útils i funcionals. Els bons dissenys no caduquen, no canvien amb les modes. No és fàcil millorar el disseny de les tisores, dels clips o de les bicicletes.

Els bons dissenys també són respectuosos amb la natura i amb les lleis de la física. Són funcionals, i alhora estalvien materials i energia. Tenen la bellesa de la simplicitat. Són una prova perdurable de que hem entès les lleis de la Natura i de l’Univers i de que ens hi hem adaptat. En molts cassos, un dels objectius del disseny és aconseguir que la Natura treballi per a nosaltres. I cada cop anem aprenent i ho sabem fer millor, això de que treballi per a nosaltres.

El Golden Gate és un pont penjant. Els dos cables principals que van d’una torre a l’altra serveixen per aguantar tota la part del pont que veiem entre les torres. Ho fan amb els cables verticals que també veieu a la foto. Si suposem que la càrrega de camions i altres vehicles al llarg del pont és uniforme, els dos cables principals adopten la forma d’una catenària. És la forma dels cables de les catenàries dels trens. Catenària deriva de la paraula llatina catenarius (cadena) perquè és la forma que adoptaria una cadena de la mateixa llargada. Tots els cables treballen a tracció, com cal i com ens diuen les lleis de l’estàtica (el pes del pont i de tots els vehicles que hi passen tendeix a estirar tots i cada un dels cables). Però si proveu de fer una maqueta de pont penjant amb dues torres (per exemple, de Lego) i una cadena, veureu que molts cops la cadena fa caure les torres cap al centre. Per això, al Golden Gate i als altres ponts penjants, els cables principals continuen a banda i banda de les torres fins quedar ben ancorats a terra ferma a cada un dels dos extrems del pont. El disseny aconsegueix que tot quedi en equilibri, perquè les forces horitzontals que estiren cada torre cap als seus dos costats s’equilibren entre elles. Les torres acaben només rebent una força resultant vertical que transmeten als seus fonaments (i han de ser prou rígides per evitar possibles efectes de vinclament). Tot plegat és senzill i clar. La mateixa imatge del pont ens explica com treballen i com es transmeten les forces. Si cerqueu imatges d’altres ponts penjants com el de Brooklyn, veureu que les regles de disseny són molt similars. No hi ha dubte que els ponts penjants són bons dissenys, no?. En tot cas, val a dir que el procés real de disseny és més complex, perquè inclou simulacions dinàmiques a més dels càlculs estàtics que hem mencionat. Els ponts han de poder resistir forts vents i fins i tot terratrèmols, i ho aconsegueixen amb flexibilitat, movent-se i adaptant-se a les forces de la natura. Les simulacions per ordinador permeten garantir a priori que el pont podrà assolir aquestes deformacions (i vibracions gegants) sense arribar a un risc de trencament. En els ponts (i en d’altres cassos), cal flexibilitat i capacitat de deformació per poder fer front a les catàstrofes. La rigidesa condueix al trencament.

Els grecs ens van deixar el llegat de la Filosofia i la Ciència. Els romans, després, ens van deixar el Dret i ens van mostrar com ser uns bons enginyers. Van fer magnifiques vies i ponts meravellosos. Molts dels ponts romans han arribat fins als nostres dies. A Salamanca hi ha dos ponts: el pont modernista d’Enric Estevan i el pont romà. Fins fa poc, un senyal a l’entrada del pont obligava els vehicles pesats a passar pel pont romà.

Però no tot són bons dissenys. Segur que recordem molts objectes que han acabat desapareixent del mercat. En el cas dels ponts, passa el mateix. Molts d’ells acaben tenint una vida més aviat curta. El pont de Bushbuckridge a Sud-àfrica va caure en el decurs d’una inspecció, l’any 1989. Un cartell al costat del pont sobre el riu Aragó a Santa Cilia de Jaca explica que les crescudes del riu han afectat molt els pilars de l’antic pont medieval i que l’actual passarel·la és només per a vianants. Però la veritat és que quan hi vaig ser, al juliol de 2011, no hi havia cap passarel·la: una crescuda del riu havia enfonsat el pont.

L’altre dia, un amic expert va ser molt critic amb el pont de l’exposició o de la peineta, dissenyat per Santiago Calatrava i construït a València. Compareu l’esveltesa del pont de la foto del principi d’aquest article amb la que teniu a sota. El disseny del pont de la peineta vol reptar les lleis de la física, amb una estructura de suport lateral i inclinada en forma d’arc, que fa que tota l’amplada del pont quedi en volada. El dissenyador no va voler connectar amb les lleis de la natura. El repte es va traduir en tones de ferro i d’estructures de reforç sota del pont, com es veu a la foto. És massís i contundent, tot i que només ha de salvar una distància de 131 metres, enfront dels 1280 metres del Golden Gate. El pont de la peineta es va pressupostar en 12.6 milions d’euros però va acabar costant 36 milions d’euros. Els dissenys que repten la física acaben pesant més i són molt més cars. En aquest cas, podríem fer la mateixa pregunta que Buckminster Fuller va fer a Norman Foster: Quan pesa el seu edifici, Sr. Foster?

Quan veiem un nou disseny val la pena repetir-nos la pregunta de Buckminster Fuller, no creieu?

Calatrava2.jpg

 

Les bombolles, les crisis, la ciència i els nostres néts

dimecres, 21/11/2012

Bouzouki.jpg La setmana passada vaig assistir a una conferència d’en Bertrand Piccard. En Bertrand Piccard va ser el primer en donar la volta al món en globus, l’any 1999, sense aturades i en vint dies. És president de la fundació “winds of hope”, que vol lluitar contra els sofriments oblidats (sobretot els que afecten els nens) tot insistint davant els poders financers i els mitjans de comunicació.

Donar la volta al món en globus i en només vint dies, no és fàcil. Per a ser innovador cal arriscar-se. En tot cas, la perspectiva que un té des d’un globus al llarg de tres setmanes és molt diferent de l’habitual. Bertrand Piccard ens diu que va entendre el significat profund de la paraula sostenibilitat. En acabar, va iniciar el seu projecte d’impuls solar. Es va plantejar de construir un avió que pogués fer la volta al món sense gastar ni una gota de combustible. El seu és un avió que recull l’energia solar a les ales, però que també ha de poder emmagatzemar l’energia del dia per poder volar tota la nit sense aportació directa del sol. La versió actual del prototipus incorpora una munió d’innovacions tecnològiques, des de motors i bateries d’alt rendiment, sofisticats algorismes de control (un cop més, els algorismes i la informàtica) i nous materials i solucions estructurals de baix pes. Fins ara, l’avió de Piccard ja ha demostrat que pot volar dia i nit (26 hores seguides) i fa pocs mesos ha volat de Payerne a Madrid i a Rabat. Ha aconseguit diversos records mundials. Per exemple, ha estat el primer avió solar que ha volat més de 24 hores seguides. Al principi, al 1999, ningú creia en el seu projecte. Ara, Bertrand Piccard ha aconseguit un bon nombre de patrocinadors i ben segur que podrà assolir nous reptes. Però la idea de Bertrand Piccard i del seu soci André Borschberg no és pas la de revolucionar la industria aeronàutica, sinó la de construir un prototipus, un símbol. Una senyal per mostrar-li a Europa el que podria fer en el camp de les energies netes, si s’ho proposés. L’objectiu és simplement fer-nos reflexionar sobre el potencial de les energies renovables.

Les energies eòlica i solar són netes, és clar. Però l’energia solar fotovoltaica no sols és neta. Podríem dir que és pura i simple. És una conseqüència directa del que hem entès, al llarg del segle XX, sobre l’estructura atòmica. Sabem cóm fer que els fotons que ens arriben amb energia del sol entreguin els seus farcellets d’energia, els seus quants, directament als electrons sense cap part mòbil ni mecanisme. Molta gent ens ha preparat el camí: Henri Becquerel, Charles Fritts, Max Planck, Albert Einstein, Sven Ason Berglund, Russell Ohl i molts d’altres. Els darrers anys s’ha incrementat considerablement el rendiment dels panells solars i el seu preu ha baixat. Tenim cel·lules solars multiunió, d’arseniur de gal·li, que ja tenen un rendiment del 43%, quan l’any 2000 parlàvem només del 22%. Els projectes actuals de recerca poden arribar fins i tot a subministrar un 15% de la demanda d’energia a Espanya segons manifesta l’investigador Antonio Luque. Tot plegat, només aprofitant el sol que ens escalfa cada dia i les seves reaccions termonuclears de fusió. Per cert, a un amic meu li agrada citar la frase de Michael McClary: “Regar el camp amb aigua dessalinitzada amb energia de fusió nuclear és una idea molt antiga: S’anomena “pluja”…”. M’agradaria demanar als nostres polítics que inverteixin sempre en ciència, tecnologia i educació, tant si hi ha crisi com si no. Altres països prioritzen, i ho poden fer.

Ens trobem en una crisi econòmica mundial. En pocs anys hem passat de la bombolla a la recessió. Com que tot ha estat molt ràpid, ho recordem bé. Fa només cinc anys el diner era fàcil, tothom volia viure bé i s’endeutava. Els bancs oferien hipoteques per un valor més alt que el de la vivenda i a terminis de fins i tot 75 anys. La gent ho acceptava, veia bé el fet de passar l’herència del deute als seus fills. Volia viure bé el present, sense pensar massa en el futur dels seus fills. Però, viure el present per damunt de les possibilitats és fer crèixer la bombolla. I ja sabem què passa emb els globus quan s’inflen massa. Ens sembla que ja ho hem aprés, però malauradament el cert és que no. En Bertrand Piccard ens demana que comparem la bombolla que ara ha esclatat, amb la bombolla del medi ambient i de les ferides que estem fent al planeta Terra i a la natura. Volem viure bé el present, sense pensar massa en el futur dels nostres néts. De fet, la bombolla és molt més gran, però ens costa de veure-la perquè el procés és molt més lent. És una hipoteca que pagaran els nostres néts i besnéts. Estem generant una crisi immensa, i en sóm responsables cada dia. Només un detall: quan acabem les reserves de combustibles fòssils (això, probablement els nostres néts ho veuran) no tan sols ens caldrà canviar de model energètic, sino que haurem exhaurit les matèries primeres que ara ens permeten sintetitzar productes quimics per als medicaments i nous materials. Sostenibilitat és fer les coses amb seny, pensant que molts cops caldrà reduir el nostre nivell de vida si volem deixar als nostres besnéts un planeta com el que ara tenim. Sostenibilitat és pensar a molt llarg termini.

Què podem fer, nosaltres? Podem estalviar energia cada dia. Podem deixar el cotxe aparcat i usar el transport public. Podem fer-nos socis d’organitzacions per a compartir vehicles (“car sharing”). Podem començar a pensar en canviar el que tenim ara per un cotxe elèctric (o un híbrid endollable). Podem comprar fruites i verdures de producció local. Però a més, hi ha una altra idea que està sorgint amb força. És l’autoconsum. És un exemple paradigmàtic, conseqüència un cop més de la recerca en ciència i tecnologia. Hi ha restaurants i altres comerços que instal·len plaques solars per generar-se ells part de l’energia elèctrica que consumeixen. No volen pagar la factura elèctrica, que inclou el dèficit de tarifa. Algunes empreses s’hi han apuntat i ja ofereixen solucions claus en mà. La norma que ho ha de regular encara es troba en fase de tramitació, però molta gent ja es va passant a l’autoconsum perquè ha vist que és rendible, fins i tot sense cap tipus de subsidi ni prima. Segons José Donoso (UNEF), l’autoconsum serà la propera revolució energètica. Ens hi apuntem? Una noticia d’ahir mateix: davant les previsions d’un escalfament de fins quatre graus a finals del segle XXI, el mateix Banc Mundial recomana invertir més en fonts d’energia menys contaminants i augmentar l’eficiència energètica d’edificis i del transport. Ho farem? Pensarem en el diner fàcil a curt termini, o pensarem en els nostres néts i besnéts?  Com deia Gandhi, “sigues el canvi que vols al món”.

En Bertrand Piccard diu que la solució és més ciència i més tecnologia. És cert, però a cada nostra, un cop més ho hem fet a l’inrevés. Fa quaranta anys, les nostres empreses eren gestionades per enginyers. Ara, s’han anat buidant d’enginyers i omplint d’especialistes en guanyar diners. En Piccard ens explica que hem de tornar als científics i als enginyers. Els pobles que surten reeixits de les crisis són els que pensen en crear, innovar i produir (coneixement i productes). Són els que han tornat a omplir les empreses amb enginyers i científics, amb gent que entén els processos de producció i que dissenya el futur. Deixeu-me que citi el pintor Antonio López, en una entrevista d’ara fa dos anys: “habria que escuchar a los hombres de ciencia más que a los banqueros. Asi debe ser por el bien de todos”.

Repeteixo dues frases de la científica Eulàlia Martí, (pàgina 64 de l’Ara del dissabte 17 de novembre): “Un país no educat és un desastre de cara al futur. Si la ciència no existeix, les empreses no poden construir un país evolucionat. I el que s’ha fet els últims anys és una autèntica clatellada”. D’altra banda, als polítics els demanaria “Inversió en educació i en la formació dels educadors, serveis sanitaris mínims i inversió en recerca per garantir el progrés social”. No ens fan cas, però els governs intel·ligents són els que inverteixen en recerca…

I acabo amb una altra frase. És la d’en Martí Giné, de deu anys (Jo sóc de l’Ara, dilluns de novembre): “m’agradaria que la secció de Ciència fos més àmplia”.

Una història de capsetes, fermions i preons

dijous, 15/11/2012

Llampec.jpg El descobriment de la matèria és una aventura tan apassionant com la nostra lenta comprensió de l’Univers o com els viatges dels exploradors renaixentistes. Les noves troballes no sempre són fàcils d’entendre, però estan canviant les nostres vides, com veurem. Tot plegat està relacionat amb una recent notícia sobre els quarks i els preons.

La matèria no és un conjunt amorf i gelatinós, com pensaven, fa no massa més de cent anys, científics com Wilhelm Ostwald o Ernst Mach. Tot el que veiem són aglomerats de petites partícules individuals: molècules i àtoms. Demòcrit ja ho va dir fa més de 2400 anys. Deia que tot està composat d’àtoms indivisibles. No li van fer cas durant 1900 anys. Va ser Pierre Gassendi, nascut el 1592, qui va recuperar l’atomisme junt amb Descartes. La física evolucionava ràpidament, amb científics com Galileo Galilei i Isaac Newton. Però en aquells temps, no enteníem l’estructura de la matèria. És un fet poc conegut, però el mateix Newton (1642-1727) va gastar bastants diners en la cerca alquímica de l’or. I Hennig Brandt, el darrer alquimista, va descobrir el fòsfor tot cercant l’or, l’any 1669. El cert és que, l’any 1670, només es coneixien 14 elements. Nou d’ells ja eren coneguts pels antics (or, plata, coure, ferro, estany, plom, mercuri, sofre i carboni) mentre que els altres cinc van ser descoberts pels alquimistes: zinc, arsènic, antimoni, bismut i fòsfor. Vam haver d’esperar fins els temps de la Revolució Francesa, amb el primer tractat modern de química (publicat per Antoine Lavoisier l’any 1789) i la teoria de John Dalton de l’any 1808, per poder tenir una teoria coherent sobre l’estructura de la matèria. Els estudis de Laviosier i Dalton es basaven en experiments i mesures precises, i deixaven de banda les especulacions alquimistes. La tècnica científica i renaixentista de Galileo Galilei, basada en experimentar i mesurar, havia finalment arribat a la química. Segons Dalton, qualsevol substància està formada per àtoms. En els elements purs (or, plata, ferro…) tots els àtoms són del mateix tipus. Els àtoms dels elements s’uneixen en proporcions enteres fixes i constants, per tal de formar compostos. Els compostos estan formats per molècules. Dalton, tot estudiant les combinacions i les proporcions, va saber calcular per primer cop els pesos atòmics dels elements. Després, l’any 1869, Dmitri Mendeleev va observar propietats repetitives dels elements i va proposar la taula periòdica. Va ser difícil i va costar molts segles, però aquests descobriments van portar al naixement de la química moderna. La síntesi de compostos, nous materials i medicaments n’és una conseqüència. Quan anem a la farmàcia, podem trobar remeis per als nostres mals gràcies al camí que gent com Gassendi, Lavoisier, Dalton o Mendeleev ens van preparar.

Demòcrit deia que els àtoms són indivisibles. Però, a finals del segle XIX, es va veure que no. Que eren com capsetes que podíem obrir, i mirar dins. Joseph John Thomson va identificar els electrons i, l’any 1897 va proposar el primer model estructural de l’àtom. Thomson deia que, atès que els àtoms són neutres i que els electrons tenen càrrega elèctrica negativa, l’àtom ha de contenir altres partícules amb càrrega positiva. El model d’àtom de Joseph John Thomson era de tipus “plum cake“: els electrons estaven incrustats com les panses al brioix. Ara sabem que això no és massa correcte. Però el cert és que, fa uns 130 anys, es va descobrir l’existència dels electrons. Gràcies a aquest descobriment vàrem acabar aprenent com domesticar-los, els electrons. El segle XX ha estat el segle del control dels electrons i de l’ús de l’electricitat. La primera central elèctrica d’Espanya (i tercera d’Europa) es va construir a Barcelona, al carrer de la Mata, l’any 1883. Fa cent anys, al 1912, a Barcelona pràcticament només estaven electrificats els tramvies. Però ara tenim electrodomèstics, televisió, internet, telèfons intel·ligents, cotxes elèctrics i molt més. Els electrons que vàrem trobar en obrir la capseta dels àtoms ens han canviat la vida.

Els àtoms no són plum cakes, però el que sí és clar és que són molt petits. La seva mida es mesura en angströms. Un angström (que indicarem amb la lletra “A”) és una deu mil milionèsima del metre. Un àtom d’hidrogen mesura 1.1 A, i una molècula d’aigua 2.8 A. En altres paraules, de banda a banda d’una banyera d’un metre podriem col·locar més de tres mil milions de molècules d’aigua, si les poguéssim posar en fila. L’any 1906, Ernest Rutherford i els seus col·laboradors Hans Geiger i Ernest Marsden van publicar la seva teoria sobre l’estructura del nucli atòmic. És la base del que coneixem avui. Els àtoms tenen un nucli i els electrons són al voltant seu en diversos nivells d’energia. En el model de Rutherford, l’àtom era com un sistema solar microscòpic on el nucli feia de sol. Rutherford ho va poder deduir a partir d’un simple experiment. Va bombardejar una làmina molt fina d’or amb partícules alfa, i va observar que quasi totes les particules la travessaven sense ni tan sols desviar-se. Algunes, en canvi, sortien molt desviades o fins i tot rebotaven i tornaven enrere. Eren les que xocaven amb els nuclis dels àtoms d’or, com en un billar nanoscòpic. Gràcies a Rutherford sabem que la mida del nucli és molt més petita que la de l’àtom: de fet, al llarg del diàmetre de l’àtom d’hidrogen podríem arrenglerar uns cent mil nuclis. Mentrestant Einstein, a l’any 1905, va explicar els nivells d’energia dels electrons i l’efecte fotoelèctric, conseqüència directa de la interacció entre fotons de llum i els electrons dels àtoms. Nosaltres ens aprofitem cada dia d’aquest principi quan passem pels sensors fotoelèctrics de les portes dels ascensors, i quan fem fotos amb el telèfon mòbil o amb la càmera digital. També, per exemple, utilitzem la radiació sincrotró dels electrons  en la teràpia mèdica i en molts altres camps.

Semblava que el nucli atòmic era indivisible, però va ser que no. Al segle XX vàrem trobar la clau per obrir la capseta del nucli atòmic. L’any 1932 James Chadwick es va adonar que la radiació que havien observat Walther Bothe, Jean Frédéric Joliot-Curie i altres, era produïda per una partícula que ell va anomenar neutró. Després vam saber que el nucli conté protons i neutrons. En els àtoms sense càrrega elèctrica, el nombre de protons equival al nombre d’electrons. Sabem que el nucli atòmic és esfèric o el·lipsoïdal, que el seu diàmetre és proporcional a l’arrel cúbica del total de nucleons que conté (protons i neutrons), i sabem que la mida d’un protó és tal que en un metre podríem arrenglerar 588 bilions de protons. Tot això ens ha permés entendre les reaccions nuclears i hem aprés a controlar-les. Hem après a construir reactors nuclears i estem fent recerca en el camp de la fusió nuclear. No és fàcil i tots sabem i hem anat veient els riscos, però alguns usos són indiscutibles. Qui no creu en la utilitat curativa de la radioteràpia?

Doncs bé, els protons i neutrons també són capsetes que finalment hem pogut obrir. No ha estat fàcil, perquè cal trencar-les. Hem hagut de construir obridors gegants: els acceleradors de partícules, com el LHC del CERN. Segons el Model Estàndard (desenvolupat a principis dels anys 70), els protons i neutrons són contenidors de fermions, i més en concret de quarks. Tots els experiments posteriors han anat confirmant aquesta teoria del Model Estàndard, i finalment fa pocs mesos s’ha pogut identificar la darrera de les partícules que preveu aquest model: el bosó de Higgs. El bosó de Higgs completa i tanca el mapa de les disset partícules “elementals” que postula la teoria quàntica de camps, junt amb les seves partícules germanes: els quarks, els electrons, els neutrins, els fotons, els gluons i d’altres. El Model Estàndard integra tres de les quatre forces que governen la física: les forces electromagnètiques i les dues forces nuclears, forta i dèbil. Ens explica perquè ens podem moure i vèncer la resistència de l’aire, però en canvi no podem travessar una paret. Alguns aparells actuals de diagnòstic mèdic, com els escàners PET, es basen en aquests descobriments i en l’emissió de positrons, antipartícules de tipus leptò. Però encara queden fenòmens físics per explicar. Per exemple, no sabem d’on surt la força de la gravetat (la quarta força de la física) i no sabem si existeixen partícules que l’expliquin, els hipotètics gravitons. De fet, el Model Estàndard és considerat en general una teoria provisional, que molt probablement serà superada i millorada al llarg del segle XXI.

Quina mida tenen els quarks? La resposta és que encara no la sabem, la mida dels quarks. Alguns físics creuen que la seva mida és nul·la, i que per tant són capsetes que ja no podrem obrir. Però d’altres, com Don Lincoln, creuen que poden tenir una mida de l’ordre de deu a la menys divuit metres (deu a la menys divuit és pot escriure com cero, coma, disset ceros i un 1). Podrem obrir la capseta dels fermions i dels quarks?  De fet, els físics ja han donat un nom al que podrien trobar si la poguessin obrir: són els preons. Però, existeixen els preons? Hi ha moltes teories, per exemple, la teoria de les super-cordes. Fins i tot hi ha qui diu que totes les partícules són plecs de l’espai-temps i que tot el que veiem (i nosaltres mateixos) som geometria. Haurem d’esperar, si volem saber-ho. Don Lincoln diu que podem tenir preons, però també pre-preons o fins i tot pre-pre-preons. Quantes capsetes haurem d’obrir fins arribar a la frontera quàntica? Podrem algun dia entendre i fins i tot domesticar una mica la força de la gravetat? Podria ser útil (per als nostres descendents), no creieu?

Cada cop costa més d’obrir les capsetes, i cada cop és més difícil d’explicar el que hi trobem. No són fàcils d’entendre, els reptes actuals de la física. Però, com hem vist, cada cop que obrim una capseta pugem un nou esglaó i aconseguim que la Natura treballi una mica més per a nosaltres. Gràcies a que hem anat obrint capsetes tenim medicaments, nous materials, telèfons, internet i aparells de diagnòstic i teràpia mèdica. És cert que també hem creat eines de mort i destrucció, i que encara hem de sortir de la prehistòria i aprendre a resoldre els conflictes amb el diàleg, com reconeix l’Eudald Carbonell. Però, com també diu el filòsof Javier Gomà (Babelia, 10-11-2012), hem de sentir-nos afortunats per viure a l’època actual perquè tothom, de qualsevol etapa històrica, escolliria l’actual per viure.

Diuen que no som res, i és cert. Som buits, som espai buit sotmès a les forces atòmiques. Per això, constantment estem sent travessats per neutrins que ens arriben de tot l’Univers. Si cada una de les molècules d’aigua del nostre cos i de la nostra sang tingués la mida del planeta terra, els tres nuclis dels àtoms d’hidrogen i oxigen tindrien la mida d’una illa de l’eixample de Barcelona, i els quarks i partícules elementals que els composen (unes poques dotzenes) serien més petits que pilotes de futbol. La resta és el buit, el no res.

La ciència del segle XXI no és com la del segle XIX. Ara sabem que, a banda de no ser res, no sabem res. La ciència torna a ser molt més prop de la filosofia. Sabem que les nostres teories son transitòries. El Model Estàndard de les partícules elementals serà probablement superat, aquest segle XXI. M’agrada pensar que no sabem si els quarks són capsetes, i quantes capsetes més haurem d’obrir. Anirem entenent més, però cada cop és probable que tinguem més preguntes sense resoldre. Però el que sí és clar és que, si ho sabem fer bé, les noves capsetes que obrim serviran per millorar la vida dels nostres néts. Obrim capsetes, continuem sabent poc, però les capsetes obertes donen eines per a viure millor!

Brúixoles de sol i rellotges d’ombra

dijous, 8/11/2012

Relotge_OnEsElNord.jpg Sabeu que us podeu orientar amb el vostre rellotge (si és d’agulles)? El rellotge serveix com una brúixola de sol. Mireu la foto. Al rellotge, són les 9 i vint del matí. Primer, hem de canviar a l’hora solar: una hora menys si som als mesos d’hivern, dues hores menys si som als mesos d’estiu. Com que ara som al novembre, restem una hora i veiem que són les 8 i vint, hora solar. Tot seguit, trobem la direcció intermèdia entre aquesta direcció de la busca de les hores i les 12 del migdia. La direcció intermèdia (anomenada bisectriu) entre la de les 8:20 del matí i la de les 12 és la direcció de les 10 (de fet, la de les 10:10). Ara, només cal girar el rellotge i orientar-lo de manera que aquesta bisectriu coincideixi amb la direcció d’alguna ombra d’un pal vertical, d’un arbre, d’una cantonada d’edifici o de nosaltres mateixos (a la foto, caldria girar encara una mica el rellotge). La direcció de les 12 al nostre rellotge ens dóna el nord. Hi ha diverses petites variants, com la de Pere Vives, que orienta l’agulla horària del rellotge cap al sol enlloc de tenir en compte les ombres. Però si penseu una mica, veureu que tots aquests mètodes porten al mateix resultat (això sí, tot plegat només és vàlid a l’hemisferi nord). En resum i per fer-ho curt: passem a l’hora solar, pensem mentalment quina és la direcció bisectriu, orientem la bisectriu amb alguna ombra, i el rellotge ens indica el nord.

És clar que estudiar la direcció de les ombres és equivalent a considerar la direcció del sol. L’avantatge de fer-ho amb les ombres és que no ens enlluernen. Al migdia (hora solar) les línies de les ombres de les cantonades i arbres ens assenyalen el nord, mentre que el sol és al sud i travessa el meridià, la línia imaginària que uneix el punt zenital del cel amb el punt del sud a l’horitzó. Si el vostre poble o ciutat té algun carrer orientat de nord a sud (segons el meridià), cada dia, al migdia solar, la llum del sol deixa d’il·luminar les facades del costat oest del carrer i passa a il·luminar les del costat est. És el que podem observar, gràcies a l’urbanisme geomètric d’Ildefons Cerdà, a l’avinguda Meridiana de Barcelona. A qualsevol carrer de qualsevol poble, a l’estiu, sempre hi ha un instant del dia en que el sol deixa d’il·luminar les facades d’una banda i passa a donar llum a les de l’altra banda del carrer. En tot moment, una de les dues bandes del carrer és a l’ombra, i cada carrer té el seu instant de canvi de banda. Podem pensar que els carrers són rellotges d’ombra? Malauradament, tot seguit veurem que no.

El moviment aparent del sol al cel és un dels fenòmens més ben estudiats al llarg de la història de la ciència. El sol és un molt bon rellotge. Però l’hem de saber llegir. Si no ho fem bé, no sabrem calcular bé l’hora. De fet, el que hem dit dels carrers i de les ombres a les façanes és correcte al migdia, però no ho és a d’altres hores del matí o de la tarda. Per què? Doncs perquè no podem passar per alt l’eix de gir. Al segle XXI, tots sabem que el moviment aparent del sol és degut al gir de la terra. La terra gira 360 graus (una volta) cada dia, i per tant gira un angle de 360/24 = 15 graus cada hora. Nosaltres ho veiem com un moviment del sol, que avança un angle de 15 graus cada hora, al cel. Això sí, no pas al voltant de la vertical sinó al voltant de l’eix de la terra. Aquesta és la raó per la qual quasi tots els rellotges de sol tenen un gnòmon inclinat. El moviment i la posició a cada moment de la línia d’ombra que crea la cantonada d’un edifici ens dóna un valor molt aproximat de l’hora, però la posició de la línia d’ombra que genera qualsevol aresta paral·lela a l’eix de la terra ens pot donar l’hora amb molta precisió. L’escala de les hores als rellotges de sol equatorials cilíndrics és uniforme perquè l’ombra avança exactament 15 graus cada hora (estem parlant sempre de l’hora solar i per tant no tinc en compte l’equació del temps).

Hi ha diverses maneres d’entendre bé el moviment aparent del sol i els errors que tenim quan mesurem la direcció de l’ombra de les cantonades dels edificis. La primera és calcular els angles que determinen la posició del sol al cel en funció de l’hora i de l’època de l’any. En aquest cas, però, cal emprar geometria i algunes fórmules trigonomètriques. Una altra manera, més experimental, és construir un rellotge de sol equatorial i observar com va evolucionant l’ombra al llarg del dia i en diferents moments de l’any. És molt fàcil, aquí s’explica. Només cal tallar dos trossos de fusta o cartró, de manera que l’angle de l’aresta del triangle sigui la vostra latitud. Un cop tallats i acoblats, el deixeu damunt d’una taula o superfície horitzontal, girant-lo fins que l’orientació de l’aresta inclinada del triangle coincideixi amb la direcció de l’eix de rotació de la terra. Ho podeu fer amb una brúixola, girant l’artefacte fins que el tros de fusta quedi orientat en la direcció nord-sud amb la punxa mirant al sud. Si voleu, podeu comprovar que l’aresta del triangle es paral·lela a l’eix de la terra perquè, si espereu a la nit, la vora de l’aresta apunta a l’estrella polar. Tot el cel, dia i nit, gira aparentment al voltant de la polar. Doncs bé, amb aquest senzill rellotge podem observar dues coses. En primer lloc, comprovarem que cada hora, l’ombra sobre la superfície rectangular del rellotge augmenta exactament un angle de quinze graus (si féssim el rellotge a una escala prou gran, podríem arribar a tenir una bona precisió en la mesura del temps). El sol, en el seu moviment aparent, sempre gira amb moviment uniforme al voltant de l’aresta inclinada del nostre triangle. Però a més, en segon lloc, veurem que el sol il·lumina una de les cares de la superfície rectangular, mentre que l’altra queda a l’ombra. A la tardor i hivern (des de l’equinocci de setembre fins el de març), el sol és baix, i només il·lumina la cara de sota. A la primavera i estiu (des de l’equinocci de març fins el de setembre), el sol passa més alt i il·lumina la cara de sobre. La peça rectangular del nostre rellotge té dues cares, i cada una d’elles passa mig any a l’ombra. Interessant, no?

Les brúixoles de sol funcionen prou bé a la tardor i a l’hivern, perquè habitualment podem estar disposats a acceptar errors d’uns quinze graus en la direcció del nord (veure nota al final). A la primavera i estiu ens donen errors més grans però encara ens poden ser útils. En canvi, aquests errors són massa grans a les ombres dels objectes verticals (recordem que un error de quinze graus equival a un error d’una hora) si el que volem mesurar és el temps. Els rellotges d’ombra, de l’ombra dels edificis de les ciutats, serveixen de ben poc. Rellotges d’ombra sí, però millor fer-los amb un gnòmon ben orientat, segons la direcció de l’eix de la terra.

Nota: Si calculem cóm canvia l’angle de la línia d’ombra dels objectes verticals, veurem que no mesura bé el temps. L’angle no és de quinze graus per hora, sinó que depèn del moment del dia i de l’època de l’any . Als equinoccis, l’error màxim (a les 9 del matí i a les 3 de la tarda, hora solar) és d’onze graus mentre que al solstici d’hivern és d’uns 17 graus a la sortida i posta del sol. Però al solstici d’estiu, l’error és màxim i arriba a ser de 33 graus: a les 3 de la tarda (hora solar), mentre que l’ombra del rellotge equatorial ha girat 45 graus des de les 12, la dels objectes verticals ha girat 78 graus; en compensació, després, a la tarda, gira més lentament. I en tot cas, caldria afegir-hi l’error degut a la distància al meridià de referència (a tota Europa són les 12 del migdia al mateix moment, però és obvi que el sol, a Lleida i a Varsòvia, no passa pel sud en el mateix moment) i el degut a l’equació del temps. A Catalunya, tots dos errors són força més petits, de l’ordre d’un quart d’hora com a màxim.

Terratrèmols i períodes de retorn

dimecres, 31/10/2012

Una de les noticies preocupants dels darrers dies ha estat la del judici i condemna a científics italians pel terratrèmol de l’Aquila. Perquè ens obsessionem sempre en cercar culpables, i fins i tot gastem temps en cercar culpables dels fenòmens naturals que són fruit de l’atzar? La Mònica López Ferrado cita les declaracions del matemàtic Florin Diacu, que diu que, tal com van dir els científics sentenciats,  “si el nombre de tremolors febles és gran, la probabilitat d’esdeveniments extrems és petita”, però això no vol pas dir impossible, com es va demostrar a L’Aquila.

Diem-ho clar: es impossible predir les catàstrofes naturals. I és impossible construir-nos un entorn que ens garanteixi la seguretat i ens elimini el risc. Les matemàtiques (i un cop més, l’estadística) ens donen eines per a modelar el risc i per poder-nos preparar davant possibles esdeveniments futurs. Les catàstrofes imprevisibles (terratrèmols, huracans, inundacions, erupcions volcàniques, etc.) es poden modelar amb la llei de probabilitats de Poisson. Aquesta llei ens dóna la probabilitat que, en un determinat període de temps, tinguem una d’aquestes catàstrofes en un punt geogràfic concret. Per exemple, si volem estudiar la ciutat de Barcelona en un període de deu anys, la llei de Poisson ens dóna la probabilitat que Barcelona sofreixi un terratrèmol d’intensitat més gran que 6 (per exemple) a l’escala de Richter en algun moment al llarg dels propers deu anys. Aquesta probabilitat no és mai nul·la: això és el risc. Tots nosaltres sofrirem una catàstrofe personal important: la nostra mort. L’estadística ens permet calcular la probabilitat de que aquest fet es produeixi al llarg de, per exemple, els propers dotze mesos. La probabilitat no serà cero ni 1. Ni és segur que morirem al llarg del proper any, ni és segur que no morirem. Ho hem d’acceptar així, és el risc de viure…

Aquest model matemàtic, la llei de Poisson, depèn d’un paràmetre que podem estimar a partir de la nostra experiència passada i que en el cas de les catàstrofes naturals s’anomena període de retorn. El període de retorn és el temps mitjà entre dos fenòmens del tipus que estem estudiant. Si volem saber la probabilitat de que un dels propers deu anys sigui d’extrema sequera, caldrà que analitzem dades dels darrers anys i fem una taula tot apuntant quants anys van passar entre cada dues sequeres consecutives (és clar que com més anys analitzem, millor). La mitjana de tots aquests valors ens donarà una estimació del període de retorn, i llavors la llei de Poisson ens permetrà calcular la probabilitat que volem.

Les obres públiques i les construccions es fan en base a una estimació d’aquest període de retorn. Concretem-nos per un moment en el cas dels terratrèmols. Si el disseny es dimensiona tot pensant en un període de retorn de 150 anys, és que estem considerant que és molt improbable que els propers anys tinguem un terratrèmol. No haurem de gastar gaires diners en la construcció de l’obra o de l’edifici. Si, en canvi, considerem un període de retorn de 10 anys, és que pensem que som a una zona sísmica i perillosa. Haurem de tenir en compte la normativa antisísmica, i l’edifici final serà car però segur. Per això, els terratrèmols destrossen Haití i quasi no fan quasi cap mal al Japó. És molt fàcil. Si volem menys risc, hem de baixar el període de retorn quan dissenyem les obres públiques i edificis. Però baixar el risc és encarir el projecte i la construcció. Els riscos baixos es paguen, com tot. Els científics poden avaluar el risc, la probabilitat. Però són els polítics (i la societat, nosaltres) els qui han de posar el llistó i decidir si volen gastar molts diners per tenir menys risc, o si volen gastar poc i tenir més risc. No podem nedar i guardar la roba. Al poble de L’Aquila havien escollit la segona opció.

En Pere Puigdomènech comenta que, quan hi va haver l’erupció del volcà Eyjafjallajökull a Islàndia fa dos anys, els científics van ser acusats d’exagerar i d’haver crear inútilment una pertorbació del tràfic aeri a Europa. Ara ha estat justament a l’inrevés. Comunicar el risc és una tasca molt difícil, sobretot quan la gent demana missatges clars amb seguretat absoluta, i això és impossible.

Cal acceptar que hem de conviure amb el risc. El risc amb el qual vivien els homes primitius (i el risc amb que viuen actualment molts pobles al continent Africà) és immensament més elevat que el risc amb el qual estem vivint aquí, al nostre confortable primer món. Al llarg dels segles, els descobriments científics i tecnològics han anat reduint el risc a les nostres vides, i ho continuaran fent. Però mai el podrem anular, el risc. Dins de deu segles, si la humanitat encara existeix, haurà de continuar convivint amb el risc. Enlloc de cercar profetes, visionaris o científics que ens garanteixin que demà no ens passarà res, hem d’acceptar que demà pot ser que tinguem un terratrèmol o (més probable), demà pot ser que morim d’un atac de cor. Si acceptem, de mal grat, el risc de la mort en qualsevol moment, perquè no acceptem el risc d’altres catàstrofes?

Els algorismes de traducció automàtica

dimecres, 24/10/2012

GuillemValentina.jpg Entenem els altres, quan parlen? La veritat és que no sempre els entenem, ni tampoc comprenem els seus escrits, perquè molts parlen altres idiomes. Al món parlem moltes llengües diferents, i no podem pas saber-les totes.

Sabem que els ordinadors són màquines versàtils, potencialment capaços de resoldre problemes en camps totalment diversos. Sembla senzill: només cal pensar i escriure el corresponent algorisme, i l’ordinador ens portarà a la solució. L’algorisme és la recepta que explica pas a pas com arribar a bon port. En alguns cassos, això no és difícil. L’algorisme per a fer divisions que ens ensenyen a l’escola és curt i fàcil de recordar (però no oblidem que va caldre esperar segles fins poder dissenyar-lo sobre una base sòlida com és la de la notació aritmètica actual, posicional i en base 10). Hi ha altres problemes (com el de la motxilla) que requereixen algorismes exponencials, massa lents i impracticables, si volem trobar una solució òptima. De fet, l’objectiu sempre és trobar algorismes eficients (que no triguin massa en trobar la solució) i fiables, algorismes que ens portin a una solució acceptable i raonable. Però per alguns problemes com el de la traducció automàtica, la tasca de trobar un algorisme que els resolgui de manera raonablement eficient i fiable ha resultat ser extremadament feixuga.

La història de la traducció automàtica és paral·lela a la de la informàtica. L’any 1954 es va fer el primer intent, conegut com experiment de Georgetown. Tot era optimisme: els autors van poder traduir unes seixanta frases del rus a l’anglès. El camp de la traducció automàtica va atreure molts diners públics, i es va arribar a pensar que que “l’algorisme” es trobaria en un termini de no més de cinc anys. No va pas ser així, i a pesar de molta feina i de molts treballs al llarg dels següents 50 anys, no es va trobar cap algorisme de traducció automàtica que donés resultats acceptables. Els investigadors aplicaven tècniques basades en sintaxi i semàntica, de manera semblant al que fèiem a l’escola. Analitzaven sintàcticament la frase a traduir, intentaven recuperar-ne les idees (semàntica) i finalment tractaven d’expressar aquestes idees en l’idioma objectiu, tot sintetitzant les noves frases. Tot plegat, massa difícil. Les nostres llengües tenen matisos, frases fetes, girs i altres construccions que no són fàcils d’entendre amb regles sintàctiques i semàntiques. La gent del carrer no consulta els llibres de gramàtica, per parlar.

Els algorismes de traducció probabilística o estadística són molt recents. Franz Josef Och va guanyar el concurs DARPA de traducció automàtica l’any 2003 amb un d’aquests algorismes i va decantar els mètodes de traducció cap a aquests nous esquemes probabilístics. Aquests algorismes surten de  tres idees bàsiques: un model probabilístic, un sistema d’aprenentatge i un mètode d’optimització en temps real. Els models probabilístics substitueixen els models gramaticals i sintàctics i es basen en el teorema de Bayes. El teorema de Bayes és fonamental, perquè vincula la probabilitat d’un succés A donat B amb la probabilitat de B donat A. En d’altres paraules, si sabem la probabilitat de tenir mal de coll quan tenim la grip, podem calcular la probabilitat de tenir la grip quan tenim mal de coll (vegeu nota al final). De fet, els models probabilístics dels sistemes actuals de traducció automàtica són més complexes, però inclouen el teorema de Bayes i les idees d’aprenentatge i optimització.

De fet, hi ha a més una quarta idea essencial, que és la que ha donat l’impuls definitiu als algorismes de traducció automàtica eficients i raonablement fiables. És la d’emprar un diccionari de frases enlloc d’un diccionari de paraules. Val a dir que, en el camp de la traducció probabilística, el concepte de frase és un concepte molt més general que el que usem habitualment. Una frase és qualsevol conjunt de paraules que apareix reiteradament. Però no cal que tingui cap significat. Les frases, als algorismes de traducció, no tenen semàntica. Les dues paraules “vaig anar” formen una frase, perquè les trobem tot sovint. Les frases capturen els desordres locals i permeten modelar la traducció de girs i frases fetes. Veiem alguns exemples, amb la nova eina Google Translate. Google Translate utilitza el model probabilístic que hem explicat, amb diccionari de frases. Si demaneu la traducció de la frase “the blue teapot is really cool” al català, us dóna com a resultat “la tetera blau és genial”. L’algorisme ha modelat bé la inversió entre el substantiu i el seu atribut de color, i ha traduit la frase anglesa “really cool” per “genial”. Força bé, no? Com a segon exemple, proveu de traduir la frase “esto es pan comido”, del castellà al català. El resultat us dirà que és “això és bufar i fer ampolles”. Aquí és on es veu clar que l’algorisme de traducció utilitza un diccionari de frases, que incorpora girs, dites i frases fetes. Val a dir que si aneu provant trobareu resultats no tan afortunats, però és clar que l’estat actual dels algorismes probabilístics ja comença a permetre la seva utilització (amb cura i repassant sempre el resultat) i ens fa ser optimistes cara a les seves possibilitats en un futur proper.

Com ja hem comentat, els algorismes probabilístics de traducció necessiten un diccionari de frases, per a poder traduir entre dos idiomes. Els diccionaris de frases estan ordenats alfabèticament i són semblants als nostres diccionaris habituals, però contenen frases enlloc de paraules. I a més, per a cada possible traducció (paraula o frase) guarden el valor de la seva probabilitat. A l’exemple d’abans, al diccionari anglès-català podríem trobar, al costat de la paraula “really”, la frase “really cool” per exemple amb dues possibles traduccions: “genial” i “fantàstic”, amb probabilitats de 0.7 i de 0.3 respectivament. En canvi, al diccionari castellà-català, trobaríem la frase “esto es pan comido” amb una única traducció amb probabilitat 1: “això és bufar i fer ampolles”. Recordeu que les probabilitats es donen en tant per 1 (cal dividir el tant per cent per 100) i que la suma de les probabilitats de totes les possibles traduccions d’una paraula o frase ha de ser la unitat. S’ha comprovat que, per a poder desenvolupar un algorisme estadístic de traducció que sigui fiable i per poder calcular bé les probabilitats de traducció entre frases que es corresponen, cal analitzar moltes parelles de texts (original i la seva traducció). En concret, cal disposar d’una col·lecció paral·lela de més d’un milió de paraules en cada un dels dos idiomes. I a més, cal disposar de dos conjunts de texts monolingües, cada un d’ells amb un mínim de mil milions de paraules, per a poder comprovar si la frase final un cop traduïda és d’ús comú en l’idioma de destí. Els algorismes de Google utilitzen texts de documents oficials de la ONU, perquè es publiquen en totes les sis llengües oficials de les Nacions Unides i són fiables. Però també utilitzen documents oficials de la Unió Europea. El procés d’aprenentatge és lent i feixuc, però es va fent sense presses, en paral·lel a les peticions de traducció que anem fent. Els algorismes d’aprenentatge van actualitzant els diccionaris de frases i les seves probabilitats, tot incorporant i analitzant noves col·leccions paral·leles de parelles de texts. Ho deixen tot preparat per a quan necessitem traduir alguna cosa.

Però el sorprenent, en tot això, és que aquests algorismes de traducció treballen sense tenir en compte ni una sola regla, ni sintàctica ni semàntica. Es basen només en l’anàlisi estadística de parelles de texts o corpus. De fet, s’ha demostrat que els seus resultats són millors que els donats pels actuals models sintàctics i semàntics.

Si aneu a la pàgina del traductor de Google veureu que permet traduir entre moltíssims idiomes. Però de fet, habitualment Google no fa traduccions directes. La traducció de la llengua L1 a L2, normalment requereix dos passos de traducció, el primer de L1 a anglès i el segon d’anglès a L2. Pels texts en català, Google fa tres passos: de català a castellà, de castellà a anglès i d’anglès a l’idioma destí. Això és degut a que existeixen més parelles de documents patró català-castellà que català-anglès. En tot cas, i com ja dèiem, els resultats actuals són molt prometedors.

Serà molt més fàcil de preservar la diversitat de llengües quan sapiguem trencar les barreres de comunicació. No crec pas que tots ho veiem, però penso que al llarg del segle XXI, l’evolució dels actuals algorismes de traducció automàtica permetrà la comunicació en temps real entre persones que parlin llengües diferents. No és ciència ficció, és quelcom que ara es comença a veure factible. Podeu pensar en amplificadors intel·ligents (o telèfons traductors) que faran que puguem escoltar en anglès, pels altaveus, el que una persona va explicant en català davant del micròfon. Seran algorismes i màquines de traducció simultània. Noves eines per a poder entendre els demés, que tant de bo puguin ajudar els nostres néts a comprendre “els altres” i a dialogar enlloc de barallar-se.

Nota: En el cas de la traducció, si volem traduir un tros de text “f”, el que fan els models probabilístics és cercar la frase traduïda “e” tal que la probabilitat p(e/f) sigui màxima. Aquesta probabilitat p(e/f) és la probabilitat de trobar-nos “e” com a resultat de la traducció de “f”. És el que fem nosaltres de manera intuïtiva. Si un text “e” té una probabilitat condicionada (així és com s’anomena) p(e/f) elevada, és que és una traducció “que ens sona bé”. I perquè ens sona bé? Perquè el nostre cervell ens diu que la traducció de “f” a “e” ja l’hem vist altres cops i té sentit. Ens basem en l’experiència. Justament això és el que fan els actuals algorismes. En la fase d’aprenentatge, analitzen molts texts (l’original i la traducció) i n’extreuen les probabilitats, les mesures de si “sonarà bé” o no. El teorema de Bayes ens diu que el producte de p(e/f) per p(f) és igual al producte de p(f/e) per p(e). Com que p(f) no depen del resultat de la traducció, maximitzar p(e/f) és el mateix que maximitzar el producte de p(f/e) per p(e). Si tenim pre-calculades les probabilitats p(f/e) i p(e), el que hem de fer durant la traducció és només una optimització en temps real. Tot plegat és més complex, però podeu pensar que el que fem en temps real és generar una primera llista de texts pre-candidats “e1″, “e2″, … “en”, calcular el valor p(f/e)*p(e) per a cada un d’ells, i quedar-nos amb la frase resultat que maximitzi aquest valor. Aquesta és la traducció. De fet, els models probabilístics dels sistemes actuals de traducció automàtica són més complexes i incorporen tan la probabilitat p(f/e) com la p(e/f) i la p(e). En tot cas, el sistema d’aprenentatge és qui calcula i manté actualitzades aquestes tres probabilitats.

EL PIB, les desigualtats i les matemàtiques

dimecres, 17/10/2012

Gini.png Darrerament, hi ha paraules que no parem d’escoltar: crisi, dèficit, deute, el producte interior brut (PIB), i moltes d’altres de semblants.

Malauradament, la informació molts cops ens arriba massa simplificada. I altres conceptes, també importants, no són tan coneguts. Sabeu què és el coeficient de Gini?

El coeficient de Gini és una mesura de la desigualtat, de les diferències entre els ingressos de la gent. És una mesura que utilitza la ONU, com podeu veure a la imatge i a l’informe de desenvolupament humà. És una mesura de la dispersió dels ingressos, la renda o la riquesa.

L’Estadística (que com sabem és una part de les matemàtiques) ens dona eines i mesures per entendre el comportament de les variables aleatòries. La mitjana és la més coneguda i és la que apareix a moltes noticies. Però és una mesura més aviat pobra, que aporta poca informació, com després veurem. En estadística, diem que la mitjana és un moment de primer ordre. És lineal. En altres paraules, per calcular-la només cal fer sumes i una divisió al final. Les mesures de dispersió (per exemple, la variància) són moments de segon ordre que requereixen fer multiplicacions, i ja no són lineals. De fet, hi ha també moments d’ordres més elevats, que cada cop expliquen més i més els comportaments estadístics.

Quan parlem de mesures com el PIB o la renda mitjana per persona, estem parlant d’això, d’una mitjana, sense dir res de la dispersió de les dades. És com l’acudit dels pollastres. Si tenim cinc persones i quinze pollastres, la mitjana és sempre de tres pollastres per persona, sigui quin sigui el repartiment. La mitjana és de tres tan si tothom té tres pollastres com si una de les persones té tots els 15 pollastres i les altres quatre no en tenen cap. I també ho és si el primer té un pollastre, el segon en té 2, el tercer 3, el quart quatre i el cinquè en té 5. Però les mesures de dispersió, de desigualtat, no són pas les mateixes (vegeu nota al final). Ens fan veure que hi ha situacions més injustes que altres. Quan una única persona té tots els pollastres, tenim la màxima desigualtat possible i el coeficient de Gini és 1. Quan tothom en té 3, no hi ha dispersió i el coeficient de Gini és 0. En el tercer exemple, és fàcil comprovar que el coeficient de Gini val 0.66, tot indicant que la desigualtat té un valor intermedi. La situació d’un país s’explica molt millor si, a més del PIB o de la renda mitjana per persona, podem tenir dades de les corresponents mesures de desigualtat o dispersió. El valor del PIB ens dona una imatge simplista i molts cops optimista. En canvi, la parella de valors PIB + dispersió ens fa comprendre la situació i ens fa paleses moltes injustícies.

El coeficient de Gini ens permet passar dels grisos als colors. Perquè la distribució de riquesa a una determinada societat té punts de semblança amb el color i la llum, encara que pugui semblar estrany. Són dos conceptes complexes. Per tal d’entendre bé l’estructura de la llum, cal estudiar i analitzar el seu espectre (que podem mesurar amb els espectròmetres). L’espectre de la llum ens diu quants fotons tenim, per a cada una de les possibles longituds d’ona. L’espectre de la llum és molt ric en informació. En molts cassos, massa ric. Però si volem simplificar i ens plantegem d’explicar-lo amb un sol valor, ben segur que usarem el seu valor mitjà, tot perdent informació molt significativa sobre la llum. En l’espectre de la llum, la mitjana només mesura si és clar o fosc: desapareix el color i només hi veiem en tons de gris, en blanc i negre. Els nostres ulls, però, perceben la mitjana i la dispersió, a l’espectre. La mitjana és la lluminositat (clar o fosc). La dispersió és el color. Percebem el color gràcies a que podem captar la diversitat de l’espectre lumínic. Però aquest concepte d’espectre el podem aplicar també als països i a les societats. L’espectre, en aquest cas, seria una visió fina on tenim tota la informació i on podem saber la renda de cada una de les persones (hem canviat fotons per persones i intensitat lumínica per renda). Si simplifiquem i ho resumim tot en un sol valor, el PIB o la renda mitjana per persona, serà com si veiéssim el món en tons de gris. El coeficient de Gini, la mesura de dispersió o desigualtat, és la que ens permet tenir més informació i percebre els colors i matisos de la societat i de la seva estructura.

En Joseph Stiglitz (premi Nobel d’economia 2001) és expert en desigualtat i defensor de l’ús del coeficient de Gini. Ens deia, fa tan sols un mes, que l’actual sistema augmenta constantment les desigualtats i va reduint la igualtat d’oportunitats. Diu que hi ha dues maneres d’arribar a ser ric: creant riquesa, o traient-la als demés. La primera, afegeix alguna cosa a la societat. La segona, resta i destrueix. Està demostrat que les societats amb un coeficient de Gini massa elevat són inestables i no sostenibles. És el que ha passat molts anys a Amèrica Llatina. Fixeu-vos quins són els països amb desigualtats més grans, al mapa de la imatge.

Les dades per Catalunya són força significatives. La renda mitjana per persona es va incrementar entre els anys 2004 i 2008, passant de 9064 a 10755 euros. Després, entre 2008 i 2010 (darrer any amb dades de Idescat) s’ha mantingut quasi estable, amb valors entre 10755 i 10605. Aquests valors mitjans no semblen pas preocupants. Ens indiquen que, en mitjana, vam créixer fins l’any 2008 i que després s’ha produït un estancament. Però Idescat ens dona també el valor de l’index de Gini pels mateixos anys. Podem veure que aquest index no ha parat de créixer, tant a Catalunya com a Espanya. A Catalunya hem passat de 0.292 a 0.317, i a Espanya, de 0.307 a 0.339 (tot això, entre 2004 i 2010; encara no hi ha dades del 2011). La crisi no ha pas baixat la riquesa, sinó que ha incrementat les desigualtats i la pobresa, com també comenta en Josep Ramoneda. Hi ha els mateixos diners, la mateixa renda, però cada cop més mal repartida. La renda total, el que cobrem tots els catalans, és el producte de la renda mitjana pel nombre de persones, i hem vist que es manté. Podríem dir, parlant en termes de física, que es conserva el total de la massa monetària. Però és el coeficient de Gini el que ens fa notar que la crisi serveix per enriquir els uns i empobrir els altres. Cada cop hi ha menys gent amb pollastres.

Nota: Una mesura clàssica de dispersió, segons l’estadística, és la variància. La variància és el valor mitjà dels quadrats de les diferències entre cada una de les dades i la mitjana de totes elles. En canvi, per a calcular el coeficient de Gini (que com ja hem dit és la mesura habitual de desigualtat en els ingressos), és bo representar gràficament la corba de Lorenz del grup social que estem estudiant. La corba de Lorenz ens permet representar els ingressos totals del sector més pobre de la societat. Per exemple, si el 30% de gent amb menys ingressos rep en total el 15% de la renda, les coordenades (0.3, 0.15) corresponen a un punt de la corba de Lorenz. El coeficient de Gini mesura l’àrea entre la recta a 45 graus i la corba de Lorenz (també es pot calcular amb una senzilla fórmula a partir de les dades ordenades). D’altra banda, es pot demostrar que, si els logaritmes dels ingressos de les persones segueixen una llei normal de probabilitat, el coeficient de Gini es calcula fàcilment a partir de la desviació estàndard d’aquesta llei normal.

Per què hem de canviar les bombetes?

dijous, 11/10/2012

Bombetes1.jpg Hem de canviar les bombetes perquè es fonen, com tots sabem. Però també sabem que unes bombetes duren més que les altres. Les que més duren solen ser més eficients, com veurem tot seguit. Cóm podem fer que durin més, les bombetes? És aquí on entra la ciència. Des de fa un segle, cada cop entenem millor com interactuen la matèria i la llum. Els descobriments de la física ens permetran, d’aquí a no massa temps, que quasi no calgui canviar les bombetes. Les làmpades dels propers anys tindran una durada de trenta, quaranta o cinquanta anys.

Aquest any, el Premi Nobel de física ha estat atorgat a Serge Haroche i David J. Wineland, justament per la seva recerca sobre la manera com interactuen la matèria i la llum, l’energia electromagnètica. La seva recerca en el camp dels estats quàntics ens proporciona noves eines per avançar en el camí de la computació quàntica (val a dir que sóc dels informàtics que creuen que això va per llarg, i que els ordinadors quàntics no seran pas més fàcils d’aconseguir que la fusió nuclear a nivell industrial, per exemple). Els mecanismes que governen la interacció entre els fotons de llum i els electrons dels àtoms són complexes. Ara sabem que els fotons poden transferir energia als electrons, i que l’energia dels electrons d’un corrent elèctric pot generar nous fotons. Però el que no és tan conegut és que Albert Einstein va rebre el premi Nobel l’any 1921 no pas per la teoria de la relativitat, sinó per la seva formulació de l’efecte fotoelèctric. A l’article que va publicar l’any 1905, Einstein donava una explicació quàntica de la interacció fotons-electrons, i explicava que l’energia dels fotons és funció de la seva freqüència, del seu color. Els fotons de freqüència massa baixa no tenen prou energia i no generen electricitat en no poder fer saltar els electrons.

Totes les bombetes són fàbriques de fotons. Generen fotons a partir de l’energia del corrent elèctric. Les bombetes clàssiques, incandescents, es basen el l’efecte Joule: els cables elèctrics s’escalfen. És el mateix principi que fa que funcionin molts calefactors i estufes elèctriques, però a una temperatura molt més elevada, que fa que el filament esdevingui incandescent. Aquestes bombetes fan llum, però també generen molta radiació infraroja, molta calor. I a la factura elèctrica acabem pagant més la calor que no volem que la llum que necessitem. En canvi, les bombetes de LED són molt més “fredes”. Tot va començar l’any 1927 quan Oleg Lósev va publicar, a la revista de telefonia de Rússia, els detalls dels seus experiments. Lósev va descriure el fenomen de l’electroluminescència, que va descobrir quan va veure que els díodes emetien fotons. Els díodes són vàlvules d’electricitat: la deixen passar en un sentit, però no en sentit invers. És com un riu en un saltant d’aigua. L’aigua ve per la part de dalt, cau i continua a baix, pel riu; però no pot fer-ho a l’inrevés, no hi cap riu que pugi pels saltants d’aigua. En un díode, els electrons cauen pel saltant però només poden moure’s en un sentit perquè no el poden tornar a pujar. El que passa és que, en “caure”, els electrons desprenen energia, com l’aigua en els saltants d’una central hidroelèctrica. I aquí és on apareix la teoria quàntica i els treballs d’Einstein de l’any 1905. L’energia que tenen i que poden desprendre els electrons està empaquetada en petits “farcellets”. Cada farcellet és un quant d’energia. Si el saltant és petit (i això depèn dels materials del díode) l’electró cau però no genera cap fotó perquè no pot desembolicar farcellets. Si és més gran, pot generar un fotó de baixa energia (radiació infraroja). Si encara és més alt, el díode por arribar a fabricar fotons de llum de color visible pels humans. Trobar nous materials no va ser fàcil. La recerca sobre els LED i l’emissió de fotons va haver d’avançar molt i de fet no es va poder aprofitar tècnicament fins als descobriments de Bob Biard i Gary Pittman l’any 1961 i de Nick Holonyak l’any 1962 (que va aconseguir generar llum visible). Finalment, va ser la revista Nature Photonics, l’any 2007 i amb un article de Nikolay Zheludev, qui va reconèixer Oleg Lósev com inventor dels LED.

Parlem ara de la durada i de l’eficiència de les bombetes. A la imatge del començament d’aquest article, d’esquerra a dreta i de dalt a baix, podeu veure la clàssica bombeta incandescent, una bombeta halògena, una fluorescent de baix consum i una bombeta de LED. Segons un recent article de la revista Scientific American, una bombeta incandescent de 100 watts produeix una intensitat lumínica de 1600 lumens. Per aconseguir la mateixa llum, una bombeta halògena consumeix 77 watts mentre que una fluorescent de baix consum en consumeix 23, de watts. Les bombetes de LED donen aquesta llum tot consumint 20 watts. Però les dades sobre les seves durades són aclaparadores. Les bombetes incandescents duren unes 750 hores, les halògenes unes 1000 hores, les fluorescents unes 10000 hores i les LED duren entre 25000 i 30000 hores. Val a dir que això té a veure amb les actuals polítiques comercials i amb l’anomenada obsolescència programada. La prova és que hi ha bombetes incandescents que han estat enceses permanentment els últims 110 anys sense fondre’s.

Les làmpades LED són el futur. Són molt més eficients, gasten poc, generen molt poc calor i radiació infraroja, i duren molt més. El seu problema actual és encara el preu, però és clar que la tendència és a la baixa i que els propers anys seran més econòmiques. En tot cas, si feu un petit càlcul i compteu el que us estalvieu en compra de bombetes i en el rebut elèctric, veureu que surt a compte…

Les làmpades LED són petites obres d’art que encapsulen la recerca de més d’un segle en el camp de la interacció entre llum i matèria, començant el 1905 amb la teoria quàntica de l’efecte fotoelèctric d’Einstein, continuant amb els dispositius d’Oleg Lósev de l’any 1927 i amb els díodes emissors en espectre visible de Nick Holonyak, i arribant als treballs actuals en fotònica, en el camp del color i de la millora de rendiment. No hem pas acabat. Els LED dels nostres fills seran millors, menys cars i més eficients que els que ara coneixem.

Els avatars i l’índex de massa corporal

dimecres, 3/10/2012

Avatars1.jpg Què opineu d’aquests sis humanoides o avatars? Jo personalment veig una mica més prim el més baixet, i més corpulent el més alt de la dreta (veure nota al final).

De fet, no és cert. La imatge és un collage, que he fet copiant sis cops la mateixa imatge d’un avatar amb escales diferents. Els sis avatars són idèntics i només canvia el zoom. El que passa és senzill, i les matemàtiques ens ho expliquen: quan fem un zoom en una foto d’una persona, el seu volum (i pes) és proporcional al cub de l’alçada. Però, a les persones normals, si mantenim constant l’índex de massa corporal, la seva massa (i el seu pes) és proporcional al quadrat de l’alçada. En altres paraules: els humans no som escalables, a diferència de les pedres, les fruites o els ninotets de plàstic.

Gràcies als treballs d’Adolf Quetelet i Ancel Keys, sabem que el grau de corpulència de les persones es pot mesurar pel seu índex de massa corporal. Des de l’any 1841 i fins a la seva mort (l’any 1874), Quetelet va presidir la Comissió Central d’Estadística de Gant, a Bèlgica. Va mesurar el pes i l’alçada de moltes persones i es va adonar que, a les persones adultes, el valor del pes dividit pel quadrat de la seva alçada era un bon indicador de la seva massa corporal (va tenir en compte que la massa, a la terra, és proporcional al pes). Aquest valor, si es calcula amb el pes mesurat en quilos i l’alçada en metres, té una distribució estadística semblant a la llei normal, amb una mitjana de 22 per als homes i de 20 per a les dones. Els treballs de Quetelet van quedar oblidats durant molt de temps, fins que Ancel Keys, l’any 1972, va publicar el seu estudi “Índexs de pes relatiu i obesitat”. Keys va analitzar una mostra de més de 7400 persones de cinc països, tot mesurant el seu pes, la seva alçada i el percentatge de greix al seu cos. La conclusió de Keys va ser clara: el millor índex era el que havia proposat Quetelet cent anys abans. Per això, a l’índex de massa corporal (IMC) també se’l anomena índex de Quetelet. Al cap de pocs anys, l’Organització Mundial de la Salut va fer seu l’IMC per als seus estudis sobre desnutrició i obesitat.

Ancel Keys va viure cent anys. A més de proposar la mesura de l’índex de massa corporal, va ser un fort defensor de la dieta mediterrània, i va predicar-la amb l’exemple. Hi ha qui diu va ser per això que va viure un segle…

Tornem a la imatge inicial. Sabem, per geometria, que el pes (i la massa) de qualsevol objecte és proporcional al cub de la seva mida, i que la superfície és proporcional al seu quadrat. Si agafem qualsevol objecte i l’ampliem, si li fem un “zoom” fins al doble de la seva mida inicial, el seu volum es multiplica per vuit. Si en canvi fem que la seva mida sigui la meitat, el volum es redueix a la vuitena part. Si la seva densitat no canvia, la massa i el pes es comportaran igual que el volum. Un jugador de bàsquet de complexió normal, amb IMC=22 i alçada 2 metres ha de pesar uns 88 quilos. Si fóssim escalables, una persona de 1,50 metres d’alçada hauria de pesar 37 quilos (hem passat a 3/4 de l’alçada, i 37 és el resultat de multiplicar 88 per 3/4 elevat al cub). En canvi, la formula de l’index de massa corporal de Quetelet i Keys ens diu que el seu pes normal ha de ser d’uns 50 quilos. El pes de 50 quilos és més lògic que el de 33 quilos, no?

La conclusió és que quan escalem la foto d’una persona, la fem petita, i la deixem al costat de la inicial (per poder comparar), el resultat és que ens sembla que s’ha aprimat.

Nota: En informàtica gràfica i realitat virtual, als personatges virtuals o humanoides els anomenem avatars.