Lletres i números

dimecres, 9/09/2015

Fa poc vaig llegir un article que deia que tot era qüestió d’escollir entre ciències i lletres. I que, posats a escollir, l’opció era clara perquè els humans som més de lletres, d’aquelles lletres que conformen els nostres noms i cognoms. La veritat és que no vaig entendre res. Per què hem d’escollir, si podem sumar?

A casa tenim un rellotge com el de la imatge. És el rellotge dels elements que va inventar-se l’Oliver Sacks i que va fotografiar en Tomas Muscionico durant una entrevista a Sacks d’ara fa 13 anys. La imatge és un tros del muntatge fotogràfic complet que va publicar en Muscionico i que he tret d’aquesta web. No va ser gaire difícil, només vam haver d’enganxar una còpia ampliada d’aquesta imatge damunt l’esfera que abans tenia el rellotge. La una és l’hidrogen, les dues i les tres són l’heli i el liti, les sis del matí són el carboni que ens conforma i les nou el fluor que ens protegeix les dents. Un cop passada l’hora del magnesi del migdia, saltem al cercle interior. Dinem entre l’hora de l’alumini, la del silici i la del fòsfor, i a la tarda i nit ens arriben el sofre, el clor, l’argó, el potassi, … junt amb el vanadi i el crom. Cada dia acaba amb el crom, de nombre atòmic 24 i després, a la una de la matinada, arriba un cop més la lleugeresa de l’àtom de màxima simplicitat.

Permeteu-me que expliqui una petita anècdota: Oliver Sacks deia que entenia molt bé els seus pacients perquè estava tan boig com ells.

Fa pocs dies, en un petit homenatge pòstum a Oliver Sachs, en Javier Sampedro el definia com a científic de lletres, com a membre d’aquest grup de gent que conforma una espècie raríssima i preciosa. Per a Sacks, una font de desassossec davant la mort imminent era no poder arribar a saber el que es descobriria l’endemà, deixar de llegir cada setmana les revistes Nature i Science. Però amb això no en tenia prou, perquè l’escriptura li era tan necessària com la seva investigació. La seva recerca mai estava completa fins que la compartia amb els seus lectors.

M’agrada la pàgina de ciència del HuffPost. De fet, és ben coneguda com exemple de divulgació científica de qualitat, on molts científics expliquen el que fan amb paraules entenedores. He de reconèixer que admiro els científics de lletres. La filòsofa Adela Cortina deia fa poc que a les èpoques de més progrés la filosofia ha treballat colze a colze amb les ciències, i ha estat aquesta fecundació mútua entre filosofia i ciències el que ha generat el millor saber. I en canvi, el més habitual és la disjuntiva: Ciències o lletres? Lletres o números? Per què és tan fàcil separar i tan difícil sumar? Tal vegada perquè no hem estat capaços d’explicar les ciències de manera atractiva i entusiasta als nens i adolescents, i perquè no en fem prou divulgació. És un tema en què els científics no podem defugir la nostra responsabilitat. En tot cas, no sé què opineu, però la meva impressió és que hi ha més científics de lletres que humanistes amb coneixements científics. I és clar que uns i altres són essencials. Oliver Sacks deia que els filòsofs han d’entrar al laboratori i els científics han de ser més doctes en filosofia. Perquè la formació de l’esperit crític necessita de la ciència i de la filosofia. No és possible entendre un món tan complex i tecnològic com l’actual sense un mínim coneixement científic. Només cal pensar en les dades que llegim als diaris, dades que molts cops obliden xifres bàsiques per analitzar i entendre bé els problemes (vegeu la nota al final).

Per cert, en Miquel Carrillo parla de l’informe que corre pel Parlament Europeu aquests dies i que denuncia que els grans bancs europeus aprofiten les seves xarxes internacionals per evitar pagar milers de milions d’euros en impostos a la UE; També parla de les multinacionals amb seu als països del G-7, que l’any 2010 van deixar de pagar 6.000 milions de dòlars en impostos al continent Africà.

——

NOTA: Només a títol d’exemple, és força habitual que les noticies vagin acompanyades de valors totals o mitjans (el valor del PIB, la despesa sanitària, el pressupost d’una ciutat, la renda per càpita i molts d’altres). És molt més estrany, en canvi, que ens expliquin quin valor té la dispersió de les dades (o variància, o desviació tipus, per exemple) i que tinguem informació sobre la seva distribució amb gràfics d’histogrames o similars. La distribució i dispersió del PIB, de la despesa sanitària o de la renda per càpita ens pot informar de les desigualtats i de molts problemes socials que les mitjanes ens amaguen. I la distribució del pressupost d’una determinada ciutat o de la seva despesa sanitària per districtes ens obre la caixa de la comprensió real de la situació. Perquè la simplicitat de les xifres amaga els problemes, i en canvi la riquesa de les dades ens pot fer entendre i ajudar a analitzar. Amb pocs números, difícilment podrem comprendre. Amb més xifres i una mica d’interès per les matemàtiques i la ciència, podrem llegir i deduir el que no ens diuen les lletres.

La llum i la inèrcia

dimecres, 2/09/2015

A primers de setembre tenim la llum del 10 d’abril, en els dies clars i sense núvols. Ja sé que no estic dient res de nou, perquè tots sabem que el moviment aparent del Sol al cel és simètric respecte el solstici d’estiu del 21 de juny. Ara tenim la llum de principis d’abril de la mateixa manera que el dia 21 de setembre repetirem la llum del 21 de març, quan va començar la primavera.

Tampoc és cap novetat el fet que les temperatures van endarrerides en relació a la llum. Els dies de més llum, quan ens preparem per les festes de Sant Joan, no són pas els més calorosos. Sí que són els de més escalfament solar, perquè els dies de més hores de Sol també són els de màxima exposició a la seva radiació infraroja. Però escalfament no és sinònim de temperatura. La gran inèrcia tèrmica de la Terra i dels mars fa que tot es retardi. Quan posem aliments al forn, la radiació de les seves parets tarda una estona fins escalfar i coure’ls. I el mateix passa quan deixem menjars al congelador. Ens hem d’esperar. Tots els processos de canvi de temperatures són essencialment lents, perquè comporten infinitat d’intercanvis energètics entre molècules. La llum del mes de juny escalfa força, però els seus efectes no es deixen notar, habitualment, fins mitjans de juliol.

Qui té més inèrcia tèrmica, la terra ferma o el mar? Ho podem saber si estudiem els climogrames. A la imatge de l’esquerra podeu veure, a la part de dalt, el climograma de l’observatori Fabra de Barcelona amb dades amitjanades entre els anys 1971 i 2000 (la imatge és d’aquesta pàgina web). La temperatura ambient és la corba en vermell, mentre que les barres blaves mostren la pluviositat. A sota, podeu veure la gràfica de la temperatura de l’aigua del mar, també de Barcelona, segons dades d’aquesta pàgina web. La corba en negre, més suau, mostra dades amitjanades entre els anys 2006 i 2013, mentre que la corba en blau indica les temperatures de l’any 2014, més variables: les àrees en blau indiquen els períodes en què la temperatura de l’aigua del mar del 2014 va ser inferior a l’esperat, mentre que les zones en vermell són períodes en els que la temperatura l’any passat va ser més alta del que hom podia esperar. Ens vam trobar en aquesta darrera situació els mesos de febrer, març i abril, així com després del 15 d’octubre. Encara que el gràfic superior indica els mesos i l’inferior les setmanes, he ajustat ambdues gràfiques per a que les dates coincideixin en vertical. Podeu trobar més dades d’aquest i d’altres llocs, en aquesta altra pàgina web.

La línia negre vertical de la imatge, corresponent a l’inici del mes de setembre, ens indica que la temperatura ambient mitjana, la que podem esperar, ja ha començat a baixar. El raonable és que la temperatura de l’u de setembre sigui semblant a la de finals del mes de juny. En canvi, la temperatura del mar és força estable, al voltant d’uns 25 graus, entre el 20 de juliol i primers de setembre. El mar encara no s’ha començat a refredar.

Les corbes de temperatura ambient i de l’aigua del mar són força simètriques, encara que la primera puja una mica més lentament del que baixa. Podem fer l’exercici, ben senzill, de calcular l’eix de simetria d’una i altra. És un càlcul ben senzill (vegeu la nota al final) però, si l’aritmètica ens fa mandra, ho podem deduir fins i tot amb mètodes manuals: imprimim la gràfica, posem el paper damunt el vidre d’una finestra que rebi la llum del Sol per l’altra banda, i anem provant doblecs verticals fins trobar la millor superposició (per transparència) entre les parts esquerra i dreta de la corba. Mentre que l’eix de simetria de la corba de la llum solar correspon evidentment al 21 de juny, veurem que l’eix simetria de la temperatura ambient és aproximadament l’u d’agost mentre que el de l’aigua del mar es troba als voltants del 15 d’agost. Resumint: la inèrcia de l’aigua de mar és més gran que la de la terra ferma. Per això ens podem banyar al mar quan ja comença a fresquejar…

Per cert, en David Foster Wallace deia que la llibertat i la veneració realment important comporta atenció, consciència, disciplina, esforç i la capacitat de preocupar-te de debò pels altres, una vegada i una altra, en una miríada de petits gestos ínfims i poc seductors, cada dia. És la llibertat que dóna l’educació veritable: poder decidir conscientment què té sentit i què no. Deia que l’aigua és això.

——

NOTA: Per a calcular l’eix de simetria d’una corba com les del climograma, una possible solució numèrica consisteix en treballar a partir d’una discretització en l’eix vertical. Discretitzem, per exemple, de grau en grau. Per a cada valor de la temperatura, mirem quines són les dues dates xi, yi (primavera i tardor) en què aquesta s’assoleix (utilitzo la notació xi, yi, di per indicar “x sub i”, “y sub i”, “d sub i”). Les dates les podem identificar amb un número que indiqui el nombre de dies que han passat des de l’u de gener. Per exemple, i en el cas de la temperatura mitjana de l’aigua de mar de la imatge de dalt, les dues dates corresponents als 15 graus són 109 i 347 (són les dates que corresponen a 15,6 i 49,6 setmanes). Doncs bé, l’eix de simetria més adaptat a aquesta parella de dates és justament la seva mitjana. Sumem 109+347, dividim per 2, i el resultat és 228. Ara, si aquest càlcul el fem de grau en grau, obtindrem moltes parelles (xi, yi) i cada una d’elles tindrà la seva mitjana di. Només cal fer la mitjana de totes aquests resultats parcials di (sumant-les i dividint pel nombre de temperatures que hem considerat) i aquest és el valor de la data corresponent a l’eix de simetria. És fàcil veure que aquesta és també la solució que troba el ben conegut algorisme de mínims quadrats, que en aquest cas calcularia el valor de la data d que minimitza la suma de quadrats de tots els termes (xi + yi -2*d) per a totes les parelles de valors que estem considerant.

Hem de preguntar a molta gent?

dimecres, 26/08/2015

Veiem moltes enquestes i sondeigs als mitjans de comunicació. Fins a quin punt ens podem creure el que diuen? Cóm és que hi ha vegades que encerten i altres vegades que no?

Pensem en el cas més senzill de preguntes amb només dues opcions de resposta. Algú fa un sondeig per determinar quanta gent votarà una certa opció política. Al final, el que surt als diaris és que hi ha un 46,3% de futurs votants que pensen votar-la, per exemple. Cóm podem saber el percentatge de gent que vol votar una determinada opció, si no hem preguntat a tothom?

La resposta és que aquesta xifra del 46,3% és només una aproximació. De fet i com sabeu, no estic dient res de nou perquè tots sabem que les estadístiques donen aproximacions: no poden donar valors exactes. En tot cas, el que és menys conegut és que per entendre bé qualsevol resultat d’una enquesta o sondeig hem de saber el valor de l’error i l’interval de confiança. A l’exemple anterior, el correcte seria dir: “amb un error del 1% i un interval de confiança del 95%, podem dir que el 46,3% de futurs votants pensen votar aquesta opció”. Ningú explica tot això per no enfosquir i complicar el missatge comunicatiu, però aquests dos valors, l’error i l’interval de confiança, segur que són ben coneguts pels estadístics que han analitzat les dades de l’enquesta. La idea és senzilla. Ens cal fixar un error  perquè mai podem tenir una certesa absoluta en estimacions que són resultat de sondeigs. Així, quan acceptem un error del 1%, el que estem dient i que podrem afirmar és que el percentatge de futurs votants es trobarà entre el 45,3 i el 47,3%, amb un 1% d’incertesa en els dos sentits. Ara bé, és clar que encara no n’hi ha prou perquè el fet de preguntar a un conjunt de persones mai ens donarà informació precisa sobre el que vol fer la resta, ni tan sols acceptant aquest error del 1%. Però aquí és on arriba l’estadística per ajudar-nos amb els intervals de confiança. Què volem dir quan parlem de què l’interval de confiança és del 95%? Volem dir que si algú ve i ens diu que el percentatge de futurs votants es trobarà entre el 45,3 i el 47,3%, tindrà raó el 95% dels casos.

Aquesta màgica barreja d’error i interval de confiança és el que permet que l’estadística mesuri el que és parcialment desconegut i el que només és probable. No sabem què opina tothom, però podem afirmar que si diem que el percentatge de vots estarà entre el 45,3 i el 47,3%, encertarem el 95% de les vegades.

Mireu la taula manuscrita que he preparat a sota. Ens diu, en el cas més desfavorable i amb un interval de confiança del 95%, si hem de preguntar a molta o poca gent. Aquest nombre de gent als qui haurem de preguntar és el que s’anomena mida mostral. Hi ha formules per calcular-la (si esteu interessats podeu mirar aquesta web o bé aquesta altra) però la taula de sota ens pot donar ja una bona orientació. He inclòs el cas d’un error del 1% (força habitual) però també una segona columna amb el cas que l’error sigui del 4%. El que a mi em sobta és el poc que creix en el cas de la primera columna (en el cas del 4% encara creix menys, tot movent-se entre 536 i 601). Si acceptem un error del 1% i volem saber la intenció de vot en un poble amb 5000 votants potencials, hem de preguntar a 3289 persones, més de la meitat del total. Però si la població total és de 2 milions de persones o més, la mida mostral s’estabilitza i no arriba mai a les deu mil persones. No és una mica sorprenent? La mida mostral necessària en grans poblacions és relativament petita. No cal preguntar massa gent.

Només resta algun petit detall. Un cop sabem la mida mostral, cal triar les persones aleatòriament (amb el cens de població o el cens de votants, segons el que vulguem), i no es pot canviar res. Si li ha “tocat” a una persona, cal preguntar-li a ella i només a ella; si no vol contestar, simplement s’ha d’apuntar aquest fet però no la podem substituir per cap altre. I evidentment, el resultat del sondeig mostra el que la gent ens ha volgut dir, no el que pensen que faran…

Quan veieu els resultats d’un sondeig, penseu que probablement s’ha fet amb un interval de confiança del 95%, i esbrineu el valor de l’error que han considerat. No és el mateix un error de l’1% que un del 4%.

Per cert, en Jorge Wagensberg ens explica que la probabilitat és el grau de versemblança d’un succés abans que aquest es produeixi, mentre que la informació és el canvi d’estat mental que deixa un succés després de produir-se. Diu també que la informació, quan viatja, es vesteix de redundància per a poder resistir el soroll, i que observar és més que mirar perquè inclou la voluntat explícita de separar el soroll de la informació. No es pot parlar de probabilitat de successos que ja s’han produït ni d’informació de successos del futur.

La Lluna dels matins

dimecres, 19/08/2015

Com és que al matí veiem la Lluna? Quan passa, això? Quan fa pocs dies em van fer aquesta pregunta, he de reconèixer que vaig quedar bastant sorprès. Tots ens hem acostumat a veure la Lluna, però ja quasi no observem el cel i no en sabem gaire, del seu comportament. De fet, hem de reconèixer que, de tot això, els antics en sabien molt més que nosaltres. Les nits eren fosques i estrellades, i els nostres avantpassats gaudien observant el cel i l’harmonia de la Lluna i els planetes sobre el fons d’estrelles. La Lluna és un rellotge de precisió, que repeteix, segle rere segle, les seves quatre fases cada 29 dies, 12 hores, 44 minuts i 2.78 segons. Aquest és el període de la seva revolució sinòdica, que no és més que el temps que necessita per a tornar a ocupar la mateixa posició relativa en relació al sol i a la terra (el que s’anomena un mes lunar). El terminador lunar anava canviant quan encara no hi érem i ho farà quan ja no hi siguem. Mireu la imatge animada d’aquesta pàgina web. Mostra el canvi de fases de la Lluna tal com el veiem des de l’hemisferi nord. La fase lunar és l’aparença de la porció de la Lluna il·luminada pel Sol perquè la part que és a l’ombra, si no ens hi fixem molt bé, es confon amb la foscor del cel de nit.

Imaginem que fem com els antics, i que volem entendre què fan el Sol i la Lluna. No tenim pressa. Preparem una cadira, i ens disposem a contemplar el cel ben asseguts. Ens marquem una línia imaginària al cel, que surti d’algun punt de l’horitzó davant nostre (ho podem fer amb una vertical, encara que si ho volem fer bé, el millor és imaginar un meridià del cel: una línia perpendicular a la trajectòria aparent del Sol o de la Lluna al cel). Veurem que alguns dies, el Sol va “avançat” amb relació a la Lluna (passa abans per la nostra línia imaginària ). Altres dies, el Sol va “retardat” i travessa la nostra línia més tard que la Lluna. Tot és molt regular, perquè l’angle entre el Sol i la Lluna dona tota la volta, de zero a 360 graus, en el transcurs d’un mes lunar. En 24 hores, el canvi és d’uns 360/29,5 graus. L’angle és zero en el moment de la Lluna nova, i llavors el Sol es va avançant a la Lluna durant dues setmanes fins que el dia de la Lluna plena, l’angle és de 180 graus. Després, el Sol comença a anar “retardat” fins la següent Lluna nova. Quan la Lluna és prop (per davant o per darrera) de ser nova, el Sol i la Lluna passen pel mateix meridià del cel amb poca diferència de temps. Mirant la Lluna, Aristarc de Samos va descobrir la bellesa del raonament intrínsec. Va entendre que el triangle Sol-Lluna-Terra era rectangle (amb l’angle recte situat a la Lluna) en els instants de quart creixent i quart minvant. I ens va mostrar que podem entendre molt del que passa al nostre sistema solar i a l’Univers, des de dins, des del nostre poblet a la terra, sense haver de sortir-ne. Només observant, deduint i pensant. Anant a la Lluna amb la imaginació.

Tornem a la pregunta sobre si la Lluna també es veu, als matins. De fet, la Lluna es veu quasi sempre en algun moment del dia, i la veurem si sabem mirar el cel al lloc i hora adequats. Quan és creixent es veu a la tarda, i quan és minvant, es veu al matí. Lògicament, es veu al matí quan el Sol va retardat, i es veu a la tarda o al capvespre quan el Sol va avançat. Només no es veu de dia quan som en fase la Lluna plena, perquè aquests dia, el Sol i la Lluna són un a cada banda de la terra. Però pocs dies abans de la Lluna plena la veiem al capvespre, i just després de la Lluna plena s’ens mostra a l’alba.

Caminar pel camp al matí, a la sortida del Sol, és tota una experiència. I més si ho fem un o dos dies després de la Lluna plena, perquè tots dos astres, el Sol i la Lluna, són al cel. És el que mostra la foto de dalt, que vaig fer el passat u d’agost. Durant una estona podem anar observant el seu moviment conjunt: l’un puja, l’altre baixa, com els braços d’una immensa balança. Semblen veritablement clavats a la volta del cel, a una esfera gegantina que gira lentament mentre nosaltres comencem el dia. Ara sabem que Ptolomeu es va equivocar, però aquesta dansa conjunta dels dos astres ens fa comprendre que quan comencem a mirar el cel, el més intuïtiu és acabar pensant com Plató, Aristòtil i ell.

Per cert, en Frédéric Gros diu que per anar poc a poc no hi ha res millor que caminar. Per caminar només fan falta dues cames, tot el demés és superflu. Ens diu: “si volen anar més ràpid, llavors no caminin: rodin, patinin, volin”.

Músiques, dibuixos i Pitàgores

dijous, 13/08/2015

Després de l’article sobre els cercadors de melodies i l’espai de les músiques, em vaig quedar amb ganes de parlar una mica més de les tècniques d’aprenentatge automàtic. El comentari de Jordi Domènech que podeu llegir en aquesta mateixa pàgina i un treball que acabo de llegir sobre dibuix automàtic amb imatges predissenyades, m’han acabat de decidir. El que segueix és una estranya barreja de Pitàgores, música i dibuixos.

Els dos dibuixos d’aquí al costat són composicions fetes a partir d’imatges o icones predissenyades. És el que els anglesos anomenen “clip art”. Quin us agrada més, dels dos? Jo trobo millor el de la dreta. Doncs bé, el de l’esquerra l’ha fet una persona mentre que el de la dreta l’ha generat un ordinador que havia estat prèviament entrenat i que havia anat aprenent.

Tot plegat és un tema de semblances. Són semblants, l’arbre de l’esquerra i el de la dreta? I les flors de dreta i esquerra? I els gossos, els núvols i els dos Sols? Deixant de banda els arbres, probablement estareu d’acord amb mi en què els dibuixos de l’esquerra i la dreta no són gaire semblants. Però podem anar més enllà i parlar de semblança d’estils. Si ens agrada més la composició de la dreta és probablement perquè els estils de les imatges que la componen (gos, flors, núvol, etc.) són més semblants que en el cas de la composició de l’esquerra. Doncs bé, l’ordinador que ha creat aquest dibuix automàtic ho ha pogut fer perquè sap mesurar semblances, amb el que ha pogut escollir les imatges individuals amb criteri de similitud i harmonia d’estil. Aquest algorisme d’aprenentatge automàtic (que podeu consultar en aquesta web, d’on també he extret la imatge de dalt, on trobareu el text de l’article complet, bastant tècnic) treballa en un seguit de passos ben definits i coneguts. El primer que hem de fer és aconseguir molts dibuixos i definir un conjunt de característiques o descriptors que els identifiquin, per codificar-los un a un. Això és fonamental, perquè els ordinadors no entenen de dibuixos ni de música. El conjunt de descriptors d’un dibuix és com el seu nom, és un conjunt de símbols que el representen i l’identifiquen; La única diferència amb el nostre llenguatge és que els descriptors són numèrics. Em el cas de l’algorisme automàtic de generació de composicions de dibuixos que estem comentant, cada dibuix individual, sigui un arbre, un núvol, una representació del Sol o un gos, es representa amb un conjunt de 169 descriptors numèrics. En aquest primer pas, es van escollir dos-cents mil dibuixos individuals a partir d’aquesta biblioteca de dibuixos, i es van calcular els 169 descriptors per a cada un d’ells. Per què tants dibuixos? Per què tants descriptors per a cada dibuix? Doncs perquè sempre és millor pecar per massa que per massa poc, diuen, i perquè si ho volguéssim fer amb pocs descriptors incrementaríem la probabilitat d’oblidar-nos d’alguna característica important. Només a caire d’exemple, en aquest cas alguns dels descriptors són el nombre de colors, el gruix dels contorns del dibuix i el grau de gradació de color, que mesura si els colors acaben de cop o bé es van difuminant.

Un cop hem fet aquesta feina d’identificar amb 169 descriptors tots els dibuixos de la nostra ben nodrida col·lecció, podem demanar ajut a Pitàgores i mesurar la semblança entre una parella qualsevol de dibuixos A i B simplement calculant la distància entre els punts corresponents als nostres dos dibuixos en l’espai dels dibuixos, un espai que, quasi res, té una dimensió igual a 169!. Les semblances es calculen mesurant distàncies, que no són més que longitud d’hipotenuses. Tot plegat és fàcil d’imaginar si pensem en aquest espai dels dibuixos, en el que cada dibuix queda representat com un punt (si només tinguéssim tres descriptors, podríem pintar aquests punts a l’espai 3D). Si dos dibuixos són semblants, els seus descriptors també seran similars i quedaran representats per punts propers a poca distància l’un de l’altre. Per això, els ordinadors mesuren semblances calculant distàncies i calculen distàncies amb el teorema de Pitàgores. Si (miraculosament) haguéssim encertat i tots els nostres descriptors fossin igual de rellevants, podríem mesurar semblances amb les corresponents distàncies Euclidianes (vegeu la nota al final) i dir que el quadrat de la mesura de la semblança entre dos dibuixos en l’espai dels dibuixos individuals és el resultat de restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de descriptors a un i altre dibuix, elevar totes aquestes 169 diferències al quadrat, i sumar-les. Però això no és cert, perquè segur que alguns dels descriptors que hem pensat seran més significatius que d’altres, i tot plegat només funcionarà bé si donem més pes als més importants. Un dels algorismes més senzills (vegeu un cop més la nota al final; i observeu que en aquest cas la distància ja no serà Euclidiana) d’aprenentatge automàtic consisteix en donar un pes a cada descriptor. Tindrem 169 paràmetres o pesos. I ara, el quadrat de la mesura de la semblança entre dos dibuixos en l’espai dels dibuixos individuals serà el resultat de restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de descriptors a un i altre dibuix, multiplicar cada una d’aquestes 169 diferències pel seu pes, elevar els resultats al quadrat, i sumar-los tots. Estarem aplicant el teorema de Pitàgores tot donant més importància a uns catets que als altres.

Sembla que ja ho tenim quasi tot. Cada dibuix es representa amb els valors dels seus 169 descriptors, i la generalització del teorema de Pitàgores a n dimensions ens permet calcular semblances entre dibuixos. La única cosa que ha de fer l’ordinador per a generar una composició de dibuixos com la que tenim a dalt és trobar, en l’espai dels dibuixos, un arbre, unes flors, un gos, un núvol i un Sol tals que les distàncies entre tots ells siguin petites. Hem convertit el fet de fer un dibuix en el problema geomètric de trobar punts propers. Només queda un detall. Hem de saber quins són els pesos que donarem als diferents descriptors. I això, en el treball que estic comentant, es va fer amb tècniques d’aprenentatge automàtic supervisat (en concret, tècniques d’aprenentatge de la mètrica). En aquest cas es van escollir moltes tripletes de dibuixos A, B, C, i es va demanar a molts voluntaris que en cada cas contestessin si A era més semblant a B que no pas a C o si pel contrari, A era més semblant a C que no pas a B. Cada tripleta de dibuixos A, B, C va ser analitzada per 10 voluntaris diferents, per tal d’evitar opinions extremes. L’algorisme d’aprenentatge automàtic supervisat va calcular el conjunt de pesos de manera que el resultat fos concordant amb el que havien dit els voluntaris: si aquests havien vist, per exemple, que A era més semblant a B que no pas a C, els pesos havien de ser tals que la distància entre A i B fos més petita que la distància entre A i C, i així en tots els casos. L’interessant de tot plegat és que es va veure que 91 dels 169 descriptors acabaven tenint un pes nul. En els dibuixos, només 78 descriptors són rellevants. Els altres 91 no són informatius.

En resum: si volem que el nostre ordinador pugui calcular la semblança entre dibuixos per així poder generar noves composicions gràfiques, hem de definir un nombre (elevat) de descriptors que caracteritzin cada dibuix i hem de calcular els paràmetres (els pesos, en el nostre cas) que finalment ens permetran calcular distàncies (semblances) entre dos dibuixos qualsevol. L’aprenentatge automàtic és el procés que calcula el conjunt de paràmetres que conformaran el model de l’espai dels dibuixos i que permetran el càlcul correcte de distàncies entre els mateixos.

Doncs bé, si volem identificar músiques, el que ens cal és tenir una biblioteca de músiques ja identificades i trobar la més semblant a la que estem escoltant. Per a fer-ho, hem de definir un nombre (elevat) de descriptors que caracteritzin cada música i hem de calcular els paràmetres (els pesos, en el nostre cas) que finalment ens permetran calcular distàncies (semblances) entre qualsevulla dues melodies. L’aprenentatge automàtic és el procés que calcula el conjunt de paràmetres que conformaran el model de l’espai de les músiques i que permetran el càlcul correcte de distàncies entre aquestes.

Aprendre a mesurar semblances entre dibuixos és molt semblant a aprendre a calcular similituds entre músiques. Tot passa per tenir un bon conjunt de descriptors. En el cas de la música, el que és bastant habitual és calcular la transformada de Fourier de petits fragments solapats (d’uns 25 mil·lisegons cada un), convertir les freqüències en unitats adaptades al nostre sistema psicoacústic (les anomenades unitats mel, MFCC) i considerar com a descriptors els pics de freqüència més grans que un cert valor. Els descriptors són els ingredients de l’aprenentatge automàtic, un camp que és molt més ampli que el que he explicat, que inclou tècniques com les anomenades xarxes neuronals i que, en poques paraules, vol aconseguir algorismes que sàpiguen generalitzar a partir de la seva experiència.

Les tècniques d’intel·ligència artificial són en el centre d’un debat ètic. Poden servir per identificar músiques i compondre dibuixos, però també per rastrejar grans quantitats d’informació (el “big data”) i acabar sabent més sobre nosaltres del que podem imaginar. Són eines de doble tall. De totes maneres, Neil Lawrence diu, crec que amb molt encert, que a ell no li preocupen les màquines sinó les persones. L’aprenentatge automàtic i la intel·ligència artificial poden ser un perill, però no pas per les raons que molts pensen. El problema no són els ordinadors ni els algorismes, sinó els humans. El perill és que hi haurà qui les voldrà utilitzar com armes per a enfonsar i destruir els demés mentre incrementa el seu poder.

Per cert, en Xavier Roig diu que per tal de controlar les fronteres exteriors d’una manera efectiva caldria implantar una autoritat única per a tot Europa, perquè el tractat de Schengen de lliure circulació de persones és una bona idea mal implantada.

—–

NOTA (quasi idèntica a la d’aquest article): El teorema de Pitàgores diu, com sabem, que el quadrat de la hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma de quadrats dels catets. Això, clar, és en el pla, en dues dimensions. Però una de les coses interessants d’aquest teorema és que serveix per a qualsevol dimensió. Si tenim dos punts P i Q en un mapa i volem calcular la distància que els separa per saber si són propers o llunyans, podem pintar un triangle rectangle i començar calculant la diferència b entre les seves latituds (que correspon a la longitud del catet nord-sud) i la separació c entre les seves longituds (que correspon a la longitud del catet est-oest). Si b i c els expressem en quilòmetres i si no són massa grans, podrem menysprear la curvatura de la Terra, suposar que el triangle és pla, i calcular el quadrat de la distància entre P i Q amb el teorema de Pitàgores, fent b*b+c*c. Ara bé, aquest càlcul només serà cert si som en una comarca plana. Si P és a la vora del mar i Q és dalt d’una muntanya a 1000 metres, el teorema de Pitàgores en tres dimensions ens diu que el quadrat de la distància entre P i Q és b*b+c*c+h*h, on h és la diferència d’alçades entre els dos punts. En tres dimensions, el teorema de Pitàgores té tres termes. I no és difícil veure que això es compleix en qualsevol dimensió. El quadrat de la distància (anomenada Euclidiana) entre els punts que representen dues melodies en l’espai de les músiques (espai que podem suposar, per exemple, de dimensió 450) és el resultat de restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de gens a una i altra melodia, elevar totes aquestes diferències al quadrat, i sumar-les. i el quadrat de la distància (anomenada Euclidiana) entre els punts que representen dos dibuixos en l’espai dels dibuixos individuals (espai que podem suposar, en aquest cas, de dimensió 169) és el resultat de restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de descriptors a un i altre dibuix, elevar totes aquestes diferències al quadrat, i sumar-les. Només amb un petit detall: no totes les diferències “valen igual”, hem de donar més importància a unes que a les altres. És el mateix que passa amb els punts dels mapes. Si veiem que la distància en horitzontal (arrel quadrada de b*b+c*c) entre els nostres punts P i Q és de 10 quilòmetres, és fàcil veure que amb una diferència d’alçades de 1000 metres, la nova distància Euclidiana, arrel de b*b+c*c+h*h és de 10 quilòmetres i 50 metres. La línia recta entre P i Q només s’allarga 50 metres quan el punt Q puja 1000 metres. És el que ens diu la geometria, que no coincideix pas amb el que ens diu el nostre cos perquè la nostra percepció subjectiva de distància és bastant més petita quan P i Q són a una mateixa plana que quan Q és dalt d’una muntanya. Com podem calcular aquestes distàncies subjectives? És fàcil, només cal donar més importància a les alçades. És el que en geometria es diu “canviar la mètrica”. És com si canviéssim l’escala vertical. Podem calcular distàncies subjectives en els mapes si canviem una mica la formula i escrivim b*b+c*c+w*h*h, on w és el pes o importància que volem donar a les alçades. Quan fem el càlcul amb w=1 obtenim la distància Euclidiana mentre que si el fem, per exemple, amb w=100, obtenim un valor molt més proper a la nostra percepció subjectiva. I ara, tornant al cas de les distàncies entre melodies o dibuixos, el que fan els programes de reconeixement va en aquesta línia de donar pesos diferents als diferents descriptors i treballar amb una mètrica no Euclidiana: cal restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de gens a una i altra melodia o dibuix, elevar totes aquestes diferències al quadrat, multiplicar cada un d’aquests quadrats pel seu pes, i sumar-los. Els pesos es calculen habitualment amb algorismes d’aprenentatge automàtic.

La cultura dels límits

dijous, 6/08/2015

Quants quilòmetres diríeu que podeu caminar (o córrer) en un dia? Quantes hores podeu estar sense dormir?

És possible que no sapigueu les respostes. Jo tampoc. Però aquests límits existeixen. Els matemàtics tenen un recurs quan no poden donar valors exactes: parlen de fites inferiors i superiors. No sé quants quilòmetres puc caminar en un dia, però com que en el meu cas no són més de 40, puc afirmar que aquesta és una fita superior pel que fa a les meves caminades. Sempre és millor tenir una fita que no saber res, oi?. En el cas de la pregunta sobre les hores que podem estar desperts, la fita superior pot ser molt variable segons les persones però no superarà unes quantes desenes. Recordo una vegada, fa molt temps, que vaig estar despert unes 33 hores seguides. Aquesta és ben segur la meva fita.

L’interessant d’aquest concepte de fita superior és que ens fa prendre consciència del fet que tot, inclosos nosaltres, és limitat. Són molts els filòsofs i científics que n’han parlat, dels límits. Javier Gomá diu que l’acceptació de la limitació consubstancial a la nostra finitud és el que ens predisposa per assumir els límits ètics i cívics que acaben modelant el nostre jo. I Einstein deia que els humans no som més que éssers limitats en l’espai i el temps.

Quanta energia provinent de combustibles fòssils podem gastar anualment, a Catalunya? Quants habitants pot arribar a tenir el món?

Aquestes ja són preguntes més estranyes, que quasi ningú es planteja perquè vivim immersos en la cultura del creixement. Es parla massa d’objectius i de taxes de creixement, i ben poc de límits. Tot són interessos, beneficis, increment del PIB, expansió comercial, però ningú fa cas del profètic informe Meadows del Club de Roma. És sostenible, el creixement actual de la quantitat d’energia provinent de combustibles fòssils? Ho és, l’actual creixement de la població mundial, que s’ha duplicat durant els darrers cinquanta anys? Fins on volem arribar? Sabem alguna fita màxima d’aquests valors? Són valors limitats, però ningú hi pensa. És ben conegut que l’establiment de polítiques correctores comença per la definició d’objectius i per acords sobre els límits. En llenguatge matemàtic diríem que la vida és una constant optimització amb restriccions (vegeu aquesta pàgina web o aquesta altra en anglès). Volem viure el millor possible (volem optimitzar) però hem de tenir en compte la nostra energia limitada, els drets dels altres, la sostenibilitat del planeta (restriccions). Establir aquestes restriccions requereix identificar i quantificar els límits, i aquí és on la ciència ens pot ajudar. Potser sí que hem de saber quin és el màxim d’energia fòssil que volem gastar, ara i d’aquí a vint anys. Potser no podem evitar el creixement de la població mundial, però el raonament també és vàlid a nivell local. Quin és el màxim raonable d’habitants que podem tenir a les nostres ciutats? Segur que volem créixer constantment?

L’Emilio Lledó explica molt bé el que és la cultura dels límits. Diu que, al principi de la cultura grega, felicitat i “benestar” era sinònim de “bentenir”, de tenir més, tenir terres, cases, esclaus, vestits. Desprès, els mateixos filòsofs grecs van evolucionar cap al concepte del “benser”. Lledó diu que la pau interior del “benser” és conscient dels límits i es conforma amb ben poc, perquè la felicitat del “bentenir” és impossible en un entorn de misèria, crueltat i violència en el que la mirada només veu corrupció i malaltia social. És el mateix que comenta en Hans Rosling en aquest vídeo de la seva conferència TED sobre la gent que tenim rentadora, al món. Diu que si no ens fixem límits i no abandonem la cultura del creixement, no podrem dir als altres el que han de fer. En lloc de pensar en més, la cultura del límits fa que constantment em pregunti fins on puc arribar i que moltes vegades m’adoni que he de reduir. Quants diners vull acumular? Quant poder? Puc reduir els quilòmetres que cada any faig en cotxe? Quantes hores al dia vull estar connectat, amb l’ordinador o amb el mòbil?

La cultura de pau és, segons la declaració aprovada per l’Assemblea General de Nacions Unides l’any 1999, un conjunt de valors, actituds, tradicions, comportaments i estils de vida basats, entre d’altres coses, en el respecte a la vida, la fi de la violència, la promoció i la pràctica de la no violència per mitjà de l’educació, diàleg i cooperació, i el respecte i la promoció de tots els drets humans i llibertats fonamentals (vegeu per exemple la web del Centre Delàs d’estudis per la pau). Ara bé, crec que podem dir que la cultura de pau és germana de la cultura dels límits. Perquè bona part de la violència i de les guerres venen del desig del “bentenir”i de plantejaments basats en il·lusòries absències de límits. Perquè la consciència de la pròpia limitació és incompatible amb la pràctica de la guerra. Perquè, com diuen en Xavier Bohigas i la Teresa de Fortuny avui mateix quan fa 70 anys del bombardeig de Hiroshima, cal eliminar totes les armes nuclears (en aquest cas, el límit ha de ser zero). I perquè els drets humans comporten un seguit de deures humans que no són més que límits que hem de respectar si volem cuidar el planeta, garantir els drets dels altres i limitar i reduir les desigualtats. De fet, i parlant de límits, no em puc estar de citar la Caitlin Moran quan diu que la desigualtat és deixalla medieval.

Per cert, en Javier Rodríguez Marcos diu que l’atac a Nagasaki va ser la pedra de toc de la inhumanitat, el fruit d’una decisió que es va prendre sabent les seves conseqüències (la imatge de dalt, d’aquesta web, és de Nagasaki). Diu també que els qui escriuen els manuals d’ètica són els vencedors.

La taula periòdica d’Oliver Sacks

dimarts , 28/07/2015

El darrer article d’Oliver Sacks al New York Times m’ha impactat. El podeu llegir aquí.  Malauradament, no n’he trobat cap traducció. Parla de la meravella que és contemplar el cel de nit, i de la seva passió per la taula periòdica dels elements. L’any passat, quan va fer 81 anys, li van regalar una mica de tal·li. Aquest any, ha estat un trosset de plom…

L’Oliver Sacks diu que ara que veu la mort propera, sent la necessitat de tornar a gaudir de les ciències físiques, un món on no hi ha vida però tampoc mort. Quan fa poc va observar el cel de nit sembrat d’estrelles, se li va barrejar la sensació d’eternitat del cel amb la de trànsit i de mort.

 

 

Àfrica creix

dijous, 23/07/2015

Els mapes enganyen. Si cerqueu la paraula “mapamundi” a internet i compareu les imatges que apareixen a la vostra pantalla, veureu que els continents no tenen sempre la mateixa forma. Àfrica i Amèrica del Sud, per exemple, són continents que en alguns mapes surten més allargats que en d’altres. El problema és que la Terra és esfèrica, i és ben conegut que les pilotes són de mal aplanar. És impossible representar bé la superfície del nostre planeta en mapamundis plans i d’una sola peça.

Feu una prova. Pregunteu a qualsevol amic que, amb l’ajut d’un mapamundi, us digui quantes vegades Àfrica és més gran que Groenlàndia. Jo ho he provat, i us diria que la resposta és quatre o cinc, cosa que és totalment errònia: la resposta correcta és 14, com podeu comprovar ben fàcilment amb un globus terraqüi.

El problema és que la projecció Mercator, utilitzada en molts mapamundis, amplifica les zones de la Terra més llunyanes de l’Equador. La projecció cilíndrica de Gerard Kremer Mercator és còmoda perquè representa els meridians i paral·lels com línies verticals i horitzontals. Però fa créixer les zones temperades i fredes de l’hemisferi nord (Europa, Rússia, Japó i els Estats Units) a costa de les zones tropicals africanes, asiàtiques i americanes. Val a dir que és simètrica respecte l’equador, però el que passa és que a les zones temperades i fredes de l’hemisferi sud, que també amplifica, hi ha molt més mar que terra ferma. Però el resultat és que la percepció habitual que hom té de la mida d’Àfrica és més petita que la real. A més de saber poc del que passa a Àfrica i dels seus patiments, ens l’imaginem com un continent encongit.

Quan la Reial Societat Geogràfica anglesa va proposar a Kai Krause que fes un mapa insòlit, ell va pensar en fer quelcom que contribuís a corregir el nostre encongiment cultural. El resultat va ser el mapa-trencaclosques que podeu veure en aquesta web. La imatge de dalt la podeu trobar en aquest blog de la revista Scientific American, que explica que Àfrica podria acollir quasi tota Europa, la Xina, els Estats Units, el Japó i la Índia. No puc fer res millor que citar en Kai Krause quan diu que “Àfrica és simplement immensa i molt, molt més gran que el que tu o jo pensàvem. Mira-la, fixa’t-hi, pren consciència, i somriu perquè ja mai més ho oblidaràs. Davant teu, Àfrica està assolint l’estatura que es mereix tenir.

En Jarke Van Wijk proposa mapes molt trencats però que aproximen prou bé la superfície del globus terraqüi. Ell els anomena mapes “Miriahedral“. Aquest vídeo, que trobareu a la seva pàgina web, en mostra uns quants. Us el recomano.

 
Per cert, Caitlin Moran vol que existeixi la igualtat perquè desitja que tota la gent que ho passa malament arribi a ser feliç. Diu que la desigualtat és deixalla medieval.

Pitàgores i l’espai de les músiques

dimecres, 15/07/2015

Els telèfons mòbils cada cop fan més coses. Els anomenem mòbils enlloc de telèfons perquè ningú dubta de la seva mobilitat, tots nosaltres els portem arreu del món quasi com un apèndix del nostre cos. Entre les seves funcions extra-telefòniques, els darrers anys n’ha sorgit una de nova: La identificació i reconeixement de melodies. Hi ha aplicacions que ens donen tota la informació que desitgem de qualsevol música que estem escoltant. És com màgic, perquè ens ajuden en el que fins ara era impossible. Som al carrer o amb uns amics i escoltem una música que ens atrapa. Voldríem poder tornar-la a escoltar, però moltes vegades no recordem ni el nom, ni l’autor, ni l’artista. Amb aquestes noves apps, només hem de deixar que el micròfon del mòbil capti la melodia i en uns instants, el telèfon ens mostra tot el que volíem saber. En algunes aplicacions, fins i tot podem cantar o xiular la cançó que volem reconèixer. Ens ha arribat el Google de les músiques.

Com funciona, el reconeixement de melodies? De fet, la idea bàsica no és massa complicada. El mòbil envia la melodia que hem registrat a un ordinador central anomenat servidor, aquest servidor l’analitza, la converteix en un conjunt de valors que la identifiquen i la situa en un punt de l’espai de les músiques, espai on cada música és representada per un punt en una posició específica i determinada i on abans ja hem marcat molts punts, els de totes les cançons que prèviament hem identificat. Ara només cal trobar el punt més proper al que acabem de calcular amb l’objectiu de saber, de totes les músiques que ja tenim codificades, quina és la més semblant a la que hem escoltat. El servidor envia aquest resultat al nostre mòbil, i finalment acaba identificant la melodia que havíem escoltat. Hi ha comunicació telefònica entre mòbil i servidor encara que no és de veu sinó de música codificada com a dades.

Tot plegat té dos passos essencials. La conversió de la melodia en un conjunt de valors que la identifiquen, i la cerca de melodies semblants dins l’espai de les músiques. El primer és un pas de transcripció, codificació o representació. Vindria a ser com passar-li una enquesta a la melodia que estem escoltant, per obtenir un conjunt de respostes o valors que la identifiquin. Es podria fer amb lletres o paraules, però habitualment és fa amb valors numèrics. En el projecte Pandora, per exemple, cada melodia es representa amb un conjunt d’uns 450 valors, tots ells entre 1 i 5. Aquesta tira de 450 valors, que els de Pandora anomenen gens perquè codifiquen l’essència de la melodia, és com una immensa paraula identificativa que permet analitzar, comparar i cercar; és el seu nom. Perquè el primer pas per trobar, associar i estudiar és saber el nom de les coses i això és el que necessitem, per exemple, si volem cercar un concepte al diccionari o a internet. La conversió de les melodies en aquest conjunt de valors que les identifiquen és el pas previ imprescindible per poder trobar similituds. En el cas de les melodies musicals, a la majoria d’aplicacions per mòbils el càlcul del conjunt de gens o valors que les codifiquen es fa amb algorismes automàtics que calculen tot tipus de descriptors, encara que en d’altres casos com el del projecte Pandora la codificació és manual, a càrrec d’un grup d’experts en composició musical i amb validacions redundants per al control de qualitat.

Imaginem per un moment que podem caracteritzar una melodia només amb dos valors. Podem agafar un paper, i representar cada música per un punt tal com es fa a les representacions gràfiques: el seu primer valor l’assignem a la coordenada horitzontal o abscissa, i el segon, a la coordenada vertical. Tindrem tants punts al paper com músiques diferents haguem codificat, i si mesurem el grau de semblança o proximitat entre qualsevol parella de punts com el quadrat de la seva distància, el podrem calcular ben fàcilment amb el teorema de Pitàgores. Ara, si en lloc de dos valors les codifiquem amb tres valors o gens, podrem fer el mateix si representem els punts de les músiques a l’espai tridimensional amb tres coordenades x, y, z, i podrem calcular la proximitat o distància al quadrat de la mateixa manera perquè el teorema de Pitàgores es pot estendre a 3D, vegeu la Nota al final. Doncs bé, costa una mica d’imaginar però el que es fa en el cas de les melodies és exactament el mateix però a l’espai de les músiques, l’espai que representa la imatge de dalt i que podeu trobar a aquesta pàgina web. Si pensem que les representem amb 450 valors, cada una d’elles acaba sent un punt en aquest l’espai que no és pla ni tridimensional sinó de dimensió 450. Sembla complicat. Però, encara que Pitàgores mai ho hagués pensat, el seu teorema també es pot aplicar en aquests espais de tantes i tantes dimensions (vegeu un cop més la Nota al final) i ens calcula quina és la música més propera a la que acabem d’escoltar.

Qui li havia de dir a Pitàgores de Samos que, 2500 anys més tard, el seu teorema serviria per identificar músiques amb un petit i estrany giny que tots portem amb nosaltres com una peça més de vestir?. No sabem massa de la seva vida, però sí que sabem el que feien i pensaven els seus seguidors, l’escola dels Pitagòrics. Eren vegetarians, pensaven que l’estructura de l’Univers era aritmètica i geomètrica i deien que “tot són nombres” perquè van quedar marcats per la bellesa numèrica dels intervals musicals. Segons explica Xenòcrates, Pitàgores va descobrir la misteriosa connexió entre les matemàtiques i la música, tot adonant-se que les notes harmòniques, les que agraden al nostre cervell, es creen en dividir una corda vibrant en proporcions 1:2, 2:3, 3:4. I va veure que també surten dels cops de martell dels ferrers quan treballen amb martells amb pesos que segueixen aquestes mateixes proporcions. Imagineu quina seria la seva sorpresa si veiés que les melodies que componem amb les notes que ell va quantificar, les podem reconèixer i identificar amb ajut del seu famós teorema…

Per cert, en Wolfgang Münchau diu que aquest cap de setmana els creditors de Grècia han destruït l’eurozona tal com la coneixem i han ensorrat la idea de la unió monetària com a pas cap a la unió política democràtica. Es pregunta si un programa de reforma econòmica per al qual el govern no té cap mandat, que ha sigut explícitament rebutjat en un referèndum i que ha estat imposat purament per xantatge polític, té alguna possibilitat de funcionar.

—–

NOTA: El teorema de Pitàgores diu, com sabem, que el quadrat de la hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma de quadrats dels catets. Això, clar, és en el pla, en dues dimensions. Però una de les coses interessants d’aquest teorema és que serveix per a qualsevol dimensió. Si tenim dos punts P i Q en un mapa i volem calcular la distància que els separa per saber si són propers o llunyans, podem pintar un triangle rectangle i començar calculant la diferència b entre les seves latituds (que correspon a la longitud del catet nord-sud) i la separació c entre les seves longituds (que correspon a la longitud del catet est-oest). Si b i c els expressem en quilòmetres i si no són massa grans, podrem menysprear la curvatura de la Terra, suposar que el triangle és pla, i calcular el quadrat de la distància entre P i Q amb el teorema de Pitàgores, fent b*b+c*c. Ara bé, aquest càlcul només serà cert si som en una comarca plana. Si P és a la vora del mar i Q és dalt d’una muntanya a 1000 metres, el teorema de Pitàgores en tres dimensions ens diu que el quadrat de la distància entre P i Q és b*b+c*c+h*h, on h és la diferència d’alçades entre els dos punts. En tres dimensions, el teorema de Pitàgores té tres termes. I no és difícil veure que això es compleix en qualsevol dimensió. El quadrat de la distància (anomenada Euclidiana) entre els punts que representen dues melodies en l’espai de les músiques (espai que podem suposar, per exemple, de dimensió 450) és el resultat de restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de gens a una i altra melodia, elevar totes aquestes diferències al quadrat, i sumar-les. Només amb un petit detall: no totes les diferències “valen igual”, hem de donar més importància a unes que a les altres. És el mateix que passa amb els punts dels mapes. Si veiem que la distància en horitzontal (arrel quadrada de b*b+c*c) entre els nostres punts P i Q és de 10 quilòmetres, és fàcil veure que amb una diferència d’alçades de 1000 metres, la nova distància Euclidiana, arrel de b*b+c*c+h*h és de 10 quilòmetres i 50 metres. La línia recta entre P i Q només s’allarga 50 metres quan el punt Q puja 1000 metres. És el que ens diu la geometria, que no coincideix pas amb el que ens diu el nostre cos perquè la nostra percepció subjectiva de distància és bastant més petita quan P i Q són a una mateixa plana que quan Q és dalt d’una muntanya. Com podem calcular aquestes distàncies subjectives? És fàcil, només cal donar més importància a les alçades. És el que en geometria es diu “canviar la mètrica”. És com si canviéssim l’escala vertical. Podem calcular distàncies subjectives en els mapes si canviem una mica la formula i escrivim b*b+c*c+w*h*h, on w és el pes o importància que volem donar a les alçades. Quan fem el càlcul amb w=1 obtenim la distància Euclidiana mentre que si el fem, per exemple, amb w=100, obtenim un valor molt més proper a la nostra percepció subjectiva. I ara, tornant al cas de les distàncies entre melodies, el que fan els programes de reconeixement va en aquesta línia de donar pesos diferents als diferents “gens” i treballar amb una mètrica no Euclidiana: cal restar els valors de cada una de les parelles homòlogues de gens a una i altra melodia, elevar totes aquestes diferències al quadrat, multiplicar cada un d’aquests quadrats pel seu pes, i sumar-los. Els pesos, positius,  es calculen habitualment amb algorismes d’aprenentatge automàtic, però d’això, si us sembla, en parlarem un altre dia.

Llegir, mirar, preguntar-se

dijous, 9/07/2015

Fa poc vaig llegir un text d’en Rafael Argullol. Deia que estem perdent l’interès per la cultura, que la gent cada cop llegeix menys i que fins i tot, molts es vanaglorien de no llegir. Deia que l’actual pseudolector defuig les cinc condicions mínimes inherents al fet de llegir: complexitat, memòria, lentitud, llibertat i solitud. Comentava també que, malauradament, tampoc estem substituint el fet de llegir pel de mirar, com diu que es pot observar ben fàcilment als museus. La gent consumeix i fa fotos, però no mira. S’ha perdut la capacitat de llegir, mirar i interrogar-se.

Els portuguesos tenen cartells genials, com el que veieu a la foto. Els podeu veure a molts passos a nivell. Demanen que parem, escoltem i mirem. Hi ha gent com en Julio Llamazares que ens recomana que ara que venen les vacances fem cas als portuguesos, perquè parar, mirar i escoltar és molt millor que anar accelerats, diu. Parla de les virtuts de la contemplació de la natura, dels ocells i del moviment dels núvols, i ens recomana que gaudim de l’amistat. Tot perfecte, però jo m’apunto a intentar-ho tot l’any. És com l’exercici físic: per què fer-ne només a les vacances? Millor agafar i mantenir els bons hàbits, no penseu?

La ciència i la filosofia tenen un bon nombre de punts en comú. Un d’ells és l’actitud de llegir, mirar, parar i preguntar-se. En Rafael Argullol queda perplex quan llegeix que, a la darrera reforma educativa es parla emfàticament de substituir la lògica filosòfica per la “lògica de l’emprenedor”. Diu que amb aquesta frase es vol marcar la fi d’una certa manera d’entendre l’accés al coneixement. La de llegir, escoltar, reflexionar amb assossec i silenci, entendre i acabar preguntant-se molts per quès. La del pensament crític que finalment promouen tant la ciència com la filosofia.

Aquesta setmana ens ha deixat en Martí Vergès, professor de mecànica i informàtica i mestre de bona part dels qui a principis dels 70 ens dedicàvem a la informàtica. Ens va marcar amb els coneixements, però sobretot amb l’empremta de la seva actitud i amb la seva defensa aferrissada del pensament crític. Ens va canviar. Tots portem l’esperit Vergès a les nostres venes.

Per cert, en Joseph Stiglitz es pregunta si, en relació a l’etapa final de les negociacions amb Grècia, els líders financers tindran el coratge d’admetre que estaven equivocats.